미분 방정식 y'+2y'-48y=e^x 의 통 해 를 구하 십시오.

미분 방정식 y'+2y'-48y=e^x 의 통 해 를 구하 십시오.

일반적으로 미분 방정식 의 가장 간단 한 형식 은 방정식 양쪽 에 하나의 변수의 도체 형식 만 있다 는 것 이다.그러면 이 방정식 을 두 부분 으로 분해 하 는 것 이다.
(1).y'+2y'-48y=0(오른쪽=0)
(2).y=a*e^x(오른쪽 은 원 방정식 의 오른쪽 이 고 x^n 의 형식 이 라면 y=a*x^(n+j)입 니 다.여기 j 는 y 의 도체 의 최고 단계 입 니 다)
두 방정식 의 해 를 더 하면 된다.
e^x 의 도 수 는 e^x 이 고 e^nx 의 도 수 는 n*e^nx 이기 때문에 방정식(1)의 해 는 e^nx 의 각종 조합 형식 으로 쓸 수 있다.특징 방정식 의 해 는 대응 하 는 미분 방정식 의 e^nx 계수 중의 n 이다.
그래서 위층 해법 처럼...
특징 방정식 은 x^2+2x-48=0,두 뿌리:6,-8 이다.
따라서 통 해 를 설정 할 수 있 습 니 다:c1*e^(6x)+c2*e^(-8x)+a*e^x
대 입,a+2a-48a=1,a=-1/45
마지막 으로:c1*e^(6x)+c2*e^(-8x)-1/45*e^x
이렇게 말 하 는 것 이 비교적 명확 하 다.