在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是菱形，PB＝PD，且E，F分別是BC，CD的中點.求證，（1）EF平行平面PBD（2）平面PEF垂直平面PAC

在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是菱形，PB＝PD，且E，F分別是BC，CD的中點.求證，（1）EF平行平面PBD（2）平面PEF垂直平面PAC

證明：（1）∵E，F分別是BC，CD的中點，∴EF//BD∵EF平行於平面PBD上的一條直線∴EF//平面PBD（2）∵ABCD是菱形，所以BD⊥AC，∵EF//BD，∴EF⊥AC設AC與BD相交於O，則BO=OD，連接PO∵PB=PD，∴PO⊥BD，故EF⊥PO∴EF⊥平面PAC從…

在矩形ABCD中，M為AD邊的中點，P為BC上一點，PE⊥MC，PF⊥MB，當AB、BC滿足條件______時，四邊形PEMF為矩形.

AB=12BC時，四邊形PEMF是矩形.∵在矩形ABCD中，M為AD邊的中點，AB=12BC，∴AB=DC=AM=MD，∠A=∠D=90°，∴∠ABM=∠MCD=45°，∴∠BMC=90°，又∵PE⊥MC，PF⊥MB，∴∠PFM=∠PEM=90°，∴四邊形PEMF是矩形.

已知：如圖，P是矩形ABCD的CD邊上一點，PE⊥AC於E，PF⊥BD於F，AC=15，BC=8，求PE+PF.

∵四邊形ABCD是矩形，∴BD=AC=15，OD=OC，∴設∠BDC=∠DCA=α，在Rt△PCE中，sin∠DCA=sinα=PEPC，∴PE=PCsinα，在Rt△PDF中，sin∠BDC=sinα=PFDP，∴PF=PDsinα，∴PE+PF=PCsinα+PDsinα=CDsinα，∵在Rt△BCD…

如圖，E是矩形ABCD邊BC的中點，P是AD邊上一動點，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分別為F，H.
（1）當矩形ABCD的長與寬滿足什麼條件時，四邊形PHEF是矩形？請予以證明；（2）在（1）中，動點P運動到什麼位置時，矩形PHEF變為正方形？為什麼？

（1）AD=2AB.證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD；∵E是BC的中點，∴AB=BE=EC=CD；則△ABE、△DCE是等腰Rt△；∴∠AEB=∠DEC=45°；∴∠AED=90°；四邊形PFEH中，∠PFE=∠FEH=∠EHP=90°，故四邊形PFEH是矩…

如圖邊長為4的正方形ABCD所在平面與正△PAD所在平面互相垂直，M，Q分別為PC，AD的中點.（1）求證：PA‖平面MBD；（2）求：A到平面PBD的距離.

（1）證明：連AC交BD於O，連MO，則ABCD為正方形，所以O為AC中點，M為PC中點，所以MO‖PA，又PA⊄平面MBD，MO⊂平面MBD，∴PA‖平面MBD；（2）作QE⊥BD，連接PE，則∵正方形ABCD所在平面與正△PAD所在平面互相垂直，…

如圖邊長為4的正方形ABCD所在的平面與三角形PAD所在平面互相垂直，M Q分別為PC，AD的中點.
試問：在線段AB上是否存在一點N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，試指出點N的位置，並證明你的理論；若不存在，請說明理由.

先連接AC交BD於O，再連接MO，根據中位線定理可得到PA‖MO，進而可根據線面平行的判定定理可證.
連接AC交BD於O，再連接MO
∴PA‖MO
PA⊈；平面MBD，MO⊆；平面MBD
∴PA‖平面MBD.

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點，求證：（1）直線EF‖平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD.

證明：（1）在△PAD中，因為E，F分別為AP，AD的中點，所以EF‖PD.又因為EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD所以直線EF‖平面PCD.（2）連接BD.因為AB=AD，∠BAD=60°.所以△ABD為正三角形.因為F是AD的中點，所以BF⊥A…

已知PA垂直平行四邊形ABCD所在平面，若PC⊥BD，平行四邊形ABCD一定是______.

根據題意，畫出圖形如圖，∵PA垂直平行四邊形ABCD所在平面，∴PA⊥BD，又∵PC⊥BD，PA⊂平面ABCD，PC⊂平面ABCD，PA∩PC=P.∴BD⊥平面PAC又∵AC⊂平面PAC∴AC⊥BD又ABCD是平行四邊形∴平行四邊形ABCD一定是菱形.故答案為：菱形.

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足______時，平面MBD⊥平面PCD.（只要填寫一個你認為是正確的條件即可）

由定理可知，BD⊥PC.∴當DM⊥PC（或BM⊥PC）時，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.故選DM⊥PC（或BM⊥PC等）

如圖，平行四邊形中，∠ABC=75°.AF⊥BC於F，AF交BD於E，若DE=2AB，則∠AED=______°.

取DE中點O，連接AO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD‖BC，∴∠DAB=180°-∠ABC=105°，∵AF⊥BC，∴AF⊥AD，∴∠DAE=90°，∴OA=12DE=OD=OE，∵DE=2AB，∴OA=AB，∴∠AOB=∠ABO，∠ADO=∠DAO，∠AED=∠EAO，∵∠AOB =∠ADO+∠DAO=2∠ADO，∴∠ABD=∠AOB=2∠ADO，∴∠ABD+∠ADO+∠DAB=180°，∴∠ADO=25°，∠AOB=50°，∴∠AED+∠EAO+∠AOD=180°，∴∠AED=65°.故答案為：65°.