如圖，四邊形ABCD內接於圓，對角線AC與BD相交於點E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC.求證：（1）CD⊥DF；（2）BC=2CD.

如圖，四邊形ABCD內接於圓，對角線AC與BD相交於點E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC.求證：（1）CD⊥DF；（2）BC=2CD.

證明：（1）∵AB=AD，∴弧AB=弧AD，∠ADB=∠ABD.∵∠ACB=∠ADB，∠ACD=∠ABD，∴∠ACB=∠ADB=∠ABD=∠ACD.∴∠ADB=（180°-∠BAD）÷2=90°-∠DFC.∴∠ADB+∠DFC=90°，即∠ACD+∠DFC=90°，∴CD⊥DF.（2）過F作…

如圖，已知圓內接四邊形abcd對角線ac，bd交於點e，點f在對角線ac上
如圖，已知圓內接四邊形abcd對角線ac、bd交於點e，點f在對角線ac上，且滿足角adf=角cde，角abf=角cbe，若bf=a，df=b，請用含a、b的代數式表示ac的長

∵ABCD為圓內接四邊形【已知】
∴∠BAC=∠BDC，∠CBD=∠CAD【相同圓弧所對的同側圓圓周角相等】
即：∠BAF=∠CDE，∠CBE=∠FAD
又：∠ADF=∠CDE，∠ABF=∠CBE【已知】
∴∠BAF=∠ADF，∠FAD=∠ABF
又：△ABF∽△DAF【兩對應角相等，三角形相似】
∴AF/DF=BF/AF【相似三角形對應邊成比例】
即：AF²；=BF×DF=a×b
AF=√（a×b）
∵∠ABD=∠ABF+∠FBD，∠FBC=∠CBE+∠FBD
又：∠ABF=∠CBE【已知】
∴∠ABD=∠FBC
又：ABCD為圓內接四邊形【已知】
∴∠ABD=∠ACD【相同圓弧所對的同側圓圓周角相等】
∴∠FBC=∠ACD
即：∠FBC=∠FCD
同理：∠FDC=∠FCA
∴△FBC∽△FCD【兩對應角相等，三角形相似】
∴FA/FC=FC/FD【相似三角形對應邊成比例】
∴FC²；=FA×FD=a×b
FC=√（a×b）
∴AC=AF+FC=2√（a×b）

如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交於O點，E為平行四邊形ABCD外一點，EA⊥EC，ED⊥BE，求證：平行四邊形ABCD為矩形.

如圖，連接OE，∵EA⊥EC，ED⊥BE，∴△AEC和△DEB是直角三角形，∵O為平行四邊形的對角線的交點，∴O為AC和BD的中點，∴OE=12AC=12BD，∴AC=BD，∴平行四邊形ABCD為矩形.

如圖，在梯形ABCD中，AD:BE=4:3，BE:EC=2:3，若△BOE的面積比△AOD的面積小10平方釐米，則梯形ABCD的面積是______平方釐米.

因為S△ADE:S△DBE=4:3，則S△ADE=43S△DBE；又因S△ADE-S△DBE=10平方釐米，則S△ADE=10+S△DBE，所以43S△DBE=10+S△DBE， ； ； ；13S△DBE=10， ； ； ； ； ；S△DBE=30平方釐米；…