設f（x）在[0,1]上有連續導數，且f（0）=f（1）=0，證明|∫（0,1）f（x）dx|≤1/4max（0≤x≤1）|f'（x）|

設f（x）在[0,1]上有連續導數，且f（0）=f（1）=0，證明|∫（0,1）f（x）dx|≤1/4max（0≤x≤1）|f'（x）|

f（x）的導數f`（x）在〔a，b〕上連續，且f（b）=a，f（a）=b，證明：定積分∫[a，b]f（x）f`（x）dx=1／2（a^2-b^2）

∫[a，b]f（x）f`（x）dx=
=（1/2）∫[a，b]df²；（x）
=（1/2）f²；（x）|（a，b）
=（1/2）（f²；（b）-f²；（a））
=（a²；-b²；）/2

f（x）在點x=0處具有連續的二階導數，證明f
證明f（x）的二階導數有界

問題補充：證明f（x）的二階導數有界

f（x）在（0，+∞）上具有二階導數，對一切x＞0有|f（x）|≤a，|f''（x）|≤b，a，b為常數.證明：|f'（x）|≤2√ab

設任意正數x與h，有
f（x+h）=f（x）+f '（x）*h+1/2*f ''（x+θh）*（h^2）
其中0

設f（x）在負無窮到正無窮有連續的二階導數，且f（0）=0，設g（x）=f（x）/x，x不等於0；g（x）=a，x=0
確定a的值，使g（x）在負無窮到正無窮內是連續的

答案：a ；= ；f ；'； ；（0）
顯然，x≠0時，g（x）連續.囙此必須且只需 ；x ；= ；0 ；時連續即可
根據連續的條件，必須且只需下式成立

f（x）在x=c處取到極值的充分條件是一階導數等於0且二階不等0，那此條件為什麼不是充要條件呢
難道是因為有些函數取到極值時沒有導數嗎？

我幫你拓展一下吧，關於這個條件為什麼是充分條件首先，這個條件充分的前提是函數二階可導.若對任意N階可導的函數，由泰勒展開，可以知道，只要奇數階導數等於零（全部等於零），偶數階導數不等於零（至少二階導數不可以等…

設曲線y=f（x）在原點與X軸相切，函數f（x）具有連續的二階導數，且x≠0時，f的一階導數不等於0，證明該曲線在原點處的曲率半徑為R=limx→0|x^2/（2f（x））|

這不是抛物線的曲率嗎

f（x）={sinx+1 x≥0,2x-1 x

就是求f（x）的左右極限，
lim（x→0+）f（x）
= sin0 +1
= 1
而
lim（x→0-）f（x）
= 2*0 -1
= -1

抑制f'（0）=2，f（0）=0則lim（x趨於0）f（2x）/sinx等於多少

lim【x→0】f（2x）/sinx
=lim【x→0】f（2x）/x【等價無窮小代換】
=lim【x→0】[f（2x）-f（0）]/x
=2lim【x→0】[f（2x）-f（0）]/（2x）
=2f '（0）
=2×2
=4
答案：4

lim（x-sinx）/[x^2ln（1+x）] x趨近於0

用泰勒展開
sinx=x - x³；/3！+ x^5/5！+……
ln（1+x）=x - x²；/2 + x³；/3 +……
原式=lim（- x³；/3！+ x^5/5！+……）/（x³；- x^4/2 + x^5/3 +……）= -1/3