Pは三角形ABCの位置面内の一点であり、ベクトルAP+2ベクトルBP+3ベクトルCP=ベクトル0をすでに知っています。AP交BCを点Dに延長して、ベクトルAB=ベクトルa、ベクトルAC=ベクトルb.(1)はベクトルa、ベクトルbでベクトルAP、ベクトルADを表し、(2)以上の結果に基づいて、S三角形を埋めます。PAB:S三角形PBC:S三角形PAC=------------

（1）ベクトルAP+2ベクトルBP+3ベクトルCP=ベクトル0.
ベクトルの減算により、ベクトルAP+2ベクトル(AP-B)+3ベクトル(AP-C)=ベクトル0が分かります。
つまり6 AP-2 AB-3 AC=0です
ベクトルAP=1/3 AB+1/2 AC=1/3 a+1/2 b。
ベクトルADはベクトルAPと共線しているので、唯一の実数mが存在します。
ベクトルAD=mベクトルAP=m(1/3 a+1/2 b)=1/3 ma+1/2 mb.
ベクトルBDはベクトルBCと共線であるため、唯一の実数nが存在し、
ベクトルBD=nベクトルBC=n(AC-A)=n(b-a)
またベクトルAD=AB+BD=a+n(b-a)=(1-n)a+nb.
以上からわかるように、ベクトルAD=1/3 ma+1/2 mb=(1-n)a+nb.
ですから、1/3 m=(1-n)、1/2 m=n、
分解m=6/5,n=3/5.
したがって、ベクトルAD=1/3 ma+1/2 mb=2/5 a+3/5 bです。
(2)ベクトルBD=3/5ベクトルBC，ベクトルAD=6/5ベクトルAPが分かる。
だから△PBDと△PDCの高さは同じで、底辺BDとDCの比は3：2で、
したがって、両者の面積比は3：2であり、
△PBDの面積を3 Sとすると、△PDCの面積は2 Sである。
△PBDは△ABPの高さと同じで、底辺PDとAPの比は1：5であり、
だから△ABPの面積は15 Sです。
△PDCは△ACPの高さと同じで、底辺PDとAPの比は1：5であり、
だから△ABPの面積は10 Sです。
∴S三角形PAB:S三角形PBC:S三角形PAC=15 S:5 S:10 S=3:1:2.

平面ベクトル高校は、説明を求めています。Dは三角形ABC辺BCの中点として知られています。ポイントPはベクトルPA+BP+CP=0 AP=rPDを満たしています。実数rの値です。

点P満足：PA＋BP＋CP=0、すなわち：
PA=PB＋PC
ADを接続してQに延長します。QD=DA
則:
ベクトルQA=QB＋QC
つまり、ポイントQはPです。
また：AP=PD、則：
r=－2

三角形ABC内で一点Pを求めて、ベクトルAP＋ベクトルBP＋ベクトルCPを最小にします。

三角形ABCの任意の2つの辺の中線を作って、彼らの交点は重心で、つまり求めるP点です。平面直角座標系O-XYの設定点A Bの座標はそれぞれ（X 1，Y 1）（X 2，Y 2）（X 3，Y 3）は重心座標式でP［（X 1＋X 2＋X 3＋X 3）／3］を得ることができます。

Pは三角形ABC内の一点であり、3ベクトルAP+4ベクトルBP+5ベクトルCP=ベクトルOであり、AP交BCを点Dに延長して、ベクトルAB＝ベクトルa、ベクトルAC=ベクトルbでベクトルa、bをベクトルAP、ADを表します。

3 AP+4 BP+5 CP=0つまり：3 AP+4(APA-B)+5(APA-C)=12 AP-4 AB-5 AC=0つまり：AP=4 AB=4 AB/12+5 AC/12=(4 a+5 b)/12令：AP=kPD、PD=(4 AB+5 AC)/12 k令：AD=ABx+AB+ AC+5/C(12 K)=AD=AD=ABX+AB+ AC=X+AC=x+1=x+5、x+5、x+5+1=x+1=x+1=x+5+1=x+1=x+1=x+5+5+1=X++5+5+5+5、x+5、x+5、x+5、x+5、x=…

△ABC内で一点を求めて、（ベクトルAP）^2+（ベクトルBP）^2+（ベクトルCP）^2を最小にします。この時のP点は何か特殊な点ですか？

ポイントPは△ABCの重心です。〔証明〕明らかにあります。ベクトルAP＝ベクトルCP－ベクトルCA、ベクトルBP＝ベクトルCP－ベクトルCB、∴（ベクトルAP）^2＋（ベクトルBP）^2＋（ベクトルCP）^2=（ベクトルCP－ベクトルCA）^2＋（ベクトルCP－ベクトルCB）^2＋（ベクトルCP）^2=（ベクトルCP）

初二の幾何学的証明は、三角形ABC角A＝60度の角C＝40度のP、QはBC、ACにあり、AP、BQは角Aの角Bの平分線証BQ＋AQ＝AB＋BPである。

まず角QBC=40=角QCBですので、BQ=CQ、BQ+AQ=CQ+AQ=AC
次にABからDを延長してAD=ACにし、CD、PDに接続します。
ACDは等辺三角形であり、APはCDの垂直二等分線であり、
したがって、PC=PD、PDC=角PCD=60-40=20度です。
したがって、角度BCP=60-20=40度、角BPD=角PCD+角PDC=20+20=40度になります。
BP=BD
ですから、AB+BP=AB+BD=AD=AC=BQ+AQ
証明済み

図のように、△ABCでは、▽BAC=60°、▽ACB=40°で、P、QはそれぞれBC、CAであり、AP、BQはそれぞれ、▽BAC、▽ABCの角等分線である。（1）BQ=CQ；（2）BQ+AQ=AB+BP.

証明：(1)∵BQは▽ABCの角二等分線であり、
∴∠QBC=1
2㎝ABC.
⑧ABC+´ACB+´BAC=180°で、▽BAC=60°で、▽ACB=40°で、
∴∠ABC=80°
∴∠QBC=1
2×80°=40°、
∴∠QBC=´C、
∴BQ=CQ；
（2）BM=BPとMPを連結するようにAB-Mを延長する。
∴∠M=´BPM、
∵△ABC中▽BAC=60°、▽C=40°、
∴∠ABC=80°
∵BQ等分▽ABC、
∴∠QBC=40°=∠C、
∴BQ=CQ、
⑧ABC=´M+´BPM、
∴∠M=∠BPM=40°=∠C、
∵AP等分▽BAC、
∴∠MAP=´CAP、
△AMPと△ACPでは、
∵
∠M＝∠C
∠MAP＝∠CAP
AP＝AP
∴△AMP≌△ACP、
∴AM=AC、
⑧AM=AB+BM=AB+BP、AC=AQ+QC=AQ+BQ、
∴AB+BP=AQ+BQ.

図のように、三角形ABCにおいて、AB=AC、∠BAC=90°はAB上でP.を取って、CAの延長線上で点Qを取って、AP=AQを使用して、辺のCPとBQは点Sに交際して、証明を求めます：△CAPはすべて△BAQに等しくなります。

AB＝ACで、
∠BAQ=∠CAP=90°
AQ=AP、
∴△BAQ≌△CAP（SAS）
証明書を完成する

図のように、P、Qは△ABCのサイドBCの2点であり、BP=PQ=QC=AP=AQであれば、´ABCの大きさは__u_u_u_u u_u u u_u u u u u度.

∵PQ=AP=AQ、
∴△APQは等辺三角形であり、
∴∠APQ=60°
また∵AP=BP、
∴∠ABC=∠BAP，
⑧APQ=ABC+´BAP、
∴▽ABC=30°.だからABCの大きさは30°に等しい。
だから答えは30°です

P、Qは∆ABC辺BC上の2点で、BP=PQ=QC=AP=AQが知られています。

AP=PQ=AQなので、三角形のAPQは等辺三角形で、各角は60度です。
AP=PBなので、ABPは二等辺三角形です。APQ=60角APB=120なので、角BAP=30です。
同理角QAM=30なので、▽BACの度数=60+30+30=120度