已知P為三角形ABC所在平面內一點,且向量AP+2向量BP+3向量CP=向量0.延長AP交BC於點D, 若向量AB=向量a,向量AC=向量b.（1）用向量a、向量b表示向量AP、向量AD,(2)根據以上結果,填空S三角形PAB:S三角形PBC:S三角形PAC=---:-----:----

已知P為三角形ABC所在平面內一點,且向量AP+2向量BP+3向量CP=向量0.延長AP交BC於點D, 若向量AB=向量a,向量AC=向量b.（1）用向量a、向量b表示向量AP、向量AD,(2)根據以上結果,填空S三角形PAB:S三角形PBC:S三角形PAC=---:-----:----

(1)向量AP+2向量BP+3向量CP=向量0.
根據向量的減法可知：向量AP+2向量(AP-AB)+3向量(AP-AC)=向量0.
即6AP-2AB-3AC=0,
向量AP=1/3AB+1/2AC=1/3a+1/2b.
向量AD與向量AP共線,所以存在唯一實數m,使得
向量AD=m向量AP=m(1/3a+1/2b)= 1/3ma+1/2mb.
向量BD與向量BC共線,所以存在唯一實數n,使得
向量BD=n向量BC=n(AC-AB)=n(b-a),
又向量AD=AB+BD=a+ n(b-a)=(1-n)a+nb.
綜上可知；向量AD=1/3ma+1/2mb=(1-n)a+nb.
所以1/3m=(1-n),1/2m=n,
解得m=6/5,n=3/5.
所以向量AD=1/3ma+1/2mb=2/5a+3/5b.
(2)由(1)可知：向量BD=3/5向量BC, 向量AD=6/5向量AP.
所以△PBD與△PDC的高相同,底邊BD與DC的比是3:2,
所以二者的面積比是3:2,
設△PBD的面積是3S, 則△PDC的面積是2S.
△PBD與△ABP的高相同,底邊PD與AP的比是1:5,
所以△ABP的面積是15S.
△PDC與△ACP的高相同,底邊PD與AP的比是1:5,
所以△ABP的面積是10S.
∴S三角形PAB:S三角形PBC:S三角形PAC=15S:5S:10S=3:1:2.

平面向量高中題一道.求講解.已知D為三角形ABC邊BC的中點,點P滿足向量PA+BP+CP=0 AP=rPD,則實數r的值

點P滿足：PA＋BP＋CP=0,即：
PA=PB＋PC
連線AD並延長到Q,使得：QD=DA
則：
向量QA=QB＋QC
也就是說,點Q就是點P
又：AP=PD,則：
r=－2

在三角形ABC內求一點P,使向量AP+向量BP+向量CP最小

作三角形ABC任意兩條邊的中線,他們的交點即為重心,亦即所求的P點.證明：建立平面直角座標系O-XY 設點A B C 的座標分別為 （X1 ,Y1) (X2 ,Y2) (X3 ,Y3) 由重心座標公式可得P[ (X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3] 因此向量AP+...

已知P為三角形ABC內一點,且3向量AP+4向量BP+5向量CP=向量O,延長AP交BC於點D,若向量AB＝向量a,向量AC＝向量b,用向量a,b表示向量AP,AD

3AP+4BP+5CP=0即：3AP+4(AP-AB)+5(AP-AC)=12AP-4AB-5AC=0即：AP=4AB/12+5AC/12=(4a+5b)/12令：AP=kPD,則：PD=(4AB+5AC)/(12k)令：AD=xAB+yAC,則：x+y=1則：PD=AD-AP=(x-4/12)AB+(y-5/12)AC故：x-1/3=1/(3k),y-5/12=5...

在△ABC內求一點,使（向量AP）^2+（向量BP）^2+（向量CP）^2最小,此時的P點是一個什麼特殊點?

點P是△ABC的重心.［證明］顯然有：向量AP＝向量CP－向量CA、　向量BP＝向量CP－向量CB,∴（向量AP）^2＋（向量BP）^2＋（向量CP）^2＝（向量CP－向量CA）^2＋（向量CP－向量CB）^2＋（向量CP）^2＝（向量CP）^2－2...

初二幾何證明題 知三角形ABC 角A＝60度 角C＝40度 P、Q在BC、AC上,且AP、BQ是角A角B平分線證BQ+AQ＝AB+BP

首先角QBC=40=角QCB,所以BQ=CQ,BQ+AQ=CQ+AQ=AC
其次,延長AB至D使得AD=AC,連線CD、PD,
顯然,ACD是等邊三角形,AP是CD的垂直平分線,
因此PC=PD,角PDC=角PCD=60-40=20度
從而角BDP=60-20=40度,角BPD=角PCD+角PDC=20+20=40度
即BP=BD
所以,AB+BP=AB+BD=AD=AC=BQ+AQ
證畢

如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分別在BC、CA上，並且AP、BQ分別是∠BAC、∠ABC的角平分線．求證： （1）BQ=CQ；    （2）BQ+AQ=AB+BP．

證明：（1）∵BQ是∠ABC的角平分線，
∴∠QBC=1
2∠ABC．
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，且∠BAC=60°，∠ACB=40°，
∴∠ABC=80°，
∴∠QBC=1
2×80°=40°，
∴∠QBC=∠C，

∴BQ=CQ；
（2）延長AB至M，使得BM=BP，連結MP．
∴∠M=∠BPM，
∵△ABC中∠BAC=60°，∠C=40°，
∴∠ABC=80°，
∵BQ平分∠ABC，
∴∠QBC=40°=∠C，
∴BQ=CQ，
∵∠ABC=∠M+∠BPM，
∴∠M=∠BPM=40°=∠C，
∵AP平分∠BAC，
∴∠MAP=∠CAP，
在△AMP和△ACP中，
∵
∠M＝∠C
∠MAP＝∠CAP
AP＝AP
∴△AMP≌△ACP，
∴AM=AC，
∵AM=AB+BM=AB+BP，AC=AQ+QC=AQ+BQ，
∴AB+BP=AQ+BQ．

如圖,在三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,在AB上取點P.在CA的延長線上取點Q,使AP=AQ,邊CP與BQ交與點S,求證：△CAP全等於△BAQ

由AB=AC,
∠BAQ=∠CAP=90°,
AQ=AP,
∴△BAQ≌△CAP（SAS）
證畢.

如圖，P、Q是△ABC的邊BC上的兩點，且BP=PQ=QC=AP=AQ，則∠ABC的大小等於______度．

∵PQ=AP=AQ，
∴△APQ是等邊三角形，
∴∠APQ=60°，
又∵AP=BP，
∴∠ABC=∠BAP，
∵∠APQ=∠ABC+∠BAP，
∴∠ABC=30°．故∠ABC的大小等於30°．
故答案為30°．

已知P、Q是∆ABC邊BC上的兩點,且BP=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的度數.

因為AP=PQ=AQ,所以三角形APQ為等邊三角形,每個角都是60度.
因為AP=PB ,所以ABP為等腰三角形,因為角APQ=60,所以角APB=120,所以角BAP=30,
同理角QAC=30,所以∠BAC的度數=60+30+30=120度