p為三角形ABC中任意一點,求證；AB+BC+CA>AP+BP+CP

延長AP交BC於D,在△PBD和△ACD中,有PB

已知P是三角形ABC內一點,求證：AP+BP+CP>0.5(AB+BC+CA).

根據三角形兩邊之和大於第三邊定理可得
AP+BP>AB
BP+CP>BC
CP+AP>AC
所以
2(AP+BP+CP)>AB+BC+CA
即AP+BP+CP>0.5(AB+BC+CA).

已知P是△ABC內一點,求證:AP+BP+CP>1/2(AB+BC+CA)

根據兩邊之和大於第三邊,所以
AP+BP>AB
BP+CP>BC
AP+CP>AC
加起來就行了~

在等邊三角形ABC中P為三角形內任意一點,AB=BC=CA=√(25+√12),CP^2=AP^2+BP^2,CP=5,求AP,BP的長

以PA為邊作等邊三角形PAQ,使P、Q在AC的兩側.
∵△ABC、△APQ都是正三角形,∴AB＝AC、AP＝AQ、∠BAC＝∠PAQ＝∠AQP＝60°,
∴∠BAP＋∠PAC＝∠PAC＋∠CAQ,∴∠BAP＝∠CAQ.
由AB＝AC、AP＝AQ、∠BAP＝∠CAQ,得：△ABP≌△ACQ,∴BP＝CQ.
∵△APQ是正三角形,∴PQ＝AP,又CQ＝BP、CP^2＝AP^2＋BP^2,
∴CP^2＝PQ^2＋CQ^2,∴由勾股定理的逆定理,有：∠PQC＝90°,而∠AQP＝60°,
∴∠AQC＝∠PQC＋∠AQP＝90°＋60°＝（180°－30°）,∴cos∠AQC＝－cos30°＝－√3/2.
由余弦定理,有：AQ^2＋CQ^2－2AQ×CQcos∠AQC＝AC^2,
∴AP^2＋BP^2＋√3AP×BP＝25＋√12＝25＋2√3,∴AP^2＋BP^2＋√3AP×BP＝25＋2√3,
又AP^2＋BP^2＝CP^2＝25,∴25＋√3AP×BP＝25＋2√3,∴AP×BP＝2.
∴AP^2＋BP^2＝（AP＋BP）^2－2AP×BP＝（AP＋BP）^2－2×2＝25,∴AP＋BP＝√29.
∵AP＋BP＝√29、AP×BP＝2,
∴由韋達定理可知：AP、BP是方程x^2－√29x＋2＝0的兩根,由求根公式,得：
x＝［√29＋√（29－4×2）］/2＝（√29－√21）/2、或x＝（√28－√21）/2.
∴滿足條件的AP、BP的長是：一者為（√29－√21）/2,另一者為（√28－√21）/2.

p為三角形ABC內任意一點,連線AP,BP,CP後存在這一結論PA+PB+PC＞1／2（AB+BC+AC),為什麼

pa+pb>ab
pa+pc>ac
pb+pc>bc
上述三式加起來除以二就得到結論了

P為△ABC內部任意一點,設AP,BP,CP分別交BC,CA,AB於點D,E,F,求證:S△DEF=(2PDPEPF/PAPBPC)*S△ABC

這是一道計算證明題.
容易看出問題的關鍵是AD,BE,CF共點於P,則可以考慮使用梅涅勞斯定理和塞瓦定理.
記 AF/FB=x,BD/DC=y,CE/AE=z,則由塞瓦定理知：xyz=1
考慮FPC在△ABD三邊上,由梅涅勞斯定理：(AF/BF)(BC/CD)(PD/AP)=1,
進一步求出 PD/AP=1/(x(1+z))
同理：PE/BP=1/(z(1+y)),FP/PC=1/(y(1+x))
從而有：(PD*PE*PF)/(PA*PB*PC)=1/((1+x)(1+y)(1+z))
另一方面,S△DEF/S△ABC=1-S△AEF/S△ABC-S△BDF/S△ABC-S△CDE/S△ABC
=1-x/((1+x)(1+y))-z/((1+x)(1+z))-y/((1+z)(1+y))
=2/((1+x)(1+y)(1+z))
從而命題得證.

在△ABC中,AB=12cm,AC=5cm,BC=13cm,則BC邊上的高AD=（）

S=AB×AC/2=BC×CD/2
12×5/2=13CD/2
∴CD=60/13

已知a+x2=2000，b+x2=2001，c+x2=2002，且abc=24，求a bc+c ab+b ac−1 a−1 b−1 c的值．

∵a+x2=2000，b+x2=2001，c+x2=2002，∴b-a=1，c-b=1，c-a=2，∵abc=24，∴abc+cab+bac−1a−1b−1c=a2+ b2+c2−bc−ac−ab abc=2a2+2b2+2c2−2bc−2ac−2ab2abc=(a−b)2+(a−c)2+(b−c)22abc=1+4+12×24=...

已知a+x2=2000，b+x2=2001，c+x2=2002，且abc=24，求a bc+c ab+b ac−1 a−1 b−1 c的值．

∵a+x2=2000，b+x2=2001，c+x2=2002，
∴b-a=1，c-b=1，c-a=2，
∵abc=24，
∴a
bc+c
ab+b
ac−1
a−1
b−1
c
=a2+ b2+c2−bc−ac−ab
abc
=2a2+2b2+2c2−2bc−2ac−2ab
2abc
=(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2
2abc
=1+4+1
2×24
=1
8．

已知a+x.x=2000,b+x.x=2001,c+x.x=2002,且abc＝24 求a/bc+c/ab+b/ac-1/a-1/b-1/c的值

由a+x^2=2000,b+x^2=2001,c+x^2=2002得:
a=2000-x^2
b=2001-x^2
c=2002-x^2
即:a,b,c是連續的3個自然數,又abc=24
所以:a=2
b=3
c=4
a/bc+c/ab+b/ac-1/a-1/b-1/c
=a^2/abc+c^2/abc+b^2/abc-1/a-1/b-1/c
=4/24+16/24+9/24-1/2-1/3-1/4
=1/6+2/3+3/8-1/2-1/3-1/4
=1/8

p為三角形ABC中任意一點,求證；AB+BC+CA>AP+BP+CP