極限ｌｉｍ　ｘ→０（１／ｘｓｉｎｘ＋ｘｓｉｎ１／ｘ）

極限ｌｉｍ　ｘ→０（１／ｘｓｉｎｘ＋ｘｓｉｎ１／ｘ）

図のように

：ｌｉｍ（ｘｓｉｎ１／ｘ＋１／ｘｓｉｎｘ）ｘ０の方向

答えは１．
ｌｉｍ（ｘ→０）［ｘｓｉｎ（１／ｘ）＋（１／ｘ）ｓｉｎｘ］
＝ｌｉｍ（ｘ→０）ｘｓｉｎ（１／ｘ）＋ｌｉｍ（ｘ→０）ｓｉｎｘ／ｘ，前の項は（０×有界関数）
＝０＋１
＝１

ｌｉｍ（ｘ→０）ｘ＾２＋ｘ－ｔａｎｘ／ｘｓｉｎｘを求める

ｌｉｍ（ｘ→０）（ｘ＾２＋ｘ－ｔａｎｘ）／（ｘｓｉｎｘ）
＝ｌｉｍ（ｘ→０）（ｘ＾２＋ｘ－ｔａｎｘ）／（ｘ＾２）
＝ｌｉｍ（ｘ→０）１＋（ｘ－ｔａｎｘ）／（ｘ＾２）
＝ｌｉｍ（ｘ→０）１＋（１－ｃｏｓｘ）／（２ｘ）
＝１

ｌｉｍ（ｘ－０）ｔａｎｘ－ｘ／ｘ－ｓｉｎｘ＝

Ｌ＇Ｈｏｓｐｉｔａｌの法則を利用して
ｌｉｍ（ｘ→０）（ｔａｎｘ－ｘ）／（ｘ－ｓｉｎｘ）
＝ｌｉｍ（ｘ→０）［（ｓｅｃｘ）＾２－１］／（１－ｃｏｓｘ）
＝ｌｉｍ（ｘ→０）（１＋ｃｏｓｘ）／（ｃｏｓｘ）＾２
＝２．

連続関数のつのゼロ点を持っていることを証明するために連続関数の前置定理を使う方法

ゼロ値定理：この関数ｆ（ｘ）は閉区間［ａ，ｂ］上で連続し、かつｆ（ａ）×ｆ（ｂ）である。

高数定理． ｆ（ｘ）が［ａ，ｂ］に連続している場合、ａ 証明する。

ｆ（ｘ）は［ａ，ｂ］上で連続するため、［ａ，ｂ］上に最大Ｍ，最小Ｎが存在する。