A，B都是n階半正定矩陣，證明：AB的特徵值都≥0

A，B都是n階半正定矩陣，證明：AB的特徵值都≥0

首先，如果A正定B半正定的話可以利用相似變換，AB相似於A^{-1/2}（AB）A^{1/2}=A^{1/2}BA^{1/2}，所以特徵值都>=0
然後利用特徵值的連續性，AB的特徵值可以看作（A+tI）B的特徵值的極限，仍然>=0

證明若A為n階正定矩陣，則A的所有特徵值均為正.

xT*A*x>0，x為任意n維非零向量，因為A正定，所以A對稱，A可對角化，存在可逆矩陣Q，滿足QT*A*Q=n個特徵值組成的對角陣.則存在Q的逆矩陣P，滿足A=PT*（n個特徵值組成的對角陣）*P.把A=PT*（n個特征值組成的對角陣）*P代入到xT*A*x>0中去，化為P*x=y的一個係數為n個特徵值的標準型，要它大於0，則必須保證n個特徵值都大於0.

λ1，λ2是矩陣A的兩個不同的特徵值，對應的特徵向量分別為α1，α2，求α1，A（α1+α2）線性無關充要條件

證明：因為A的屬於不同特徵值的特徵向量線性無關
所以α1，α2線性無關
又A（α1+α2）= Aα1+Aα2 =λ1α1+λ2α2
故α1，A（α1+α2）線性無關充要條件是行列式
1 0
λ1λ2
不等於0.
即λ2≠0.

λ1，λ2是矩陣A的兩個不同的特徵值，對應的特徵向量分別為α1，α2，求證α1，α2線性無關.

證明：設k1α1+k2α2=0（1）
等式兩邊左乘A得k1Aα1+k2Aα2=0
由已知得k1λ1α1+k2λ2α2=0（2）
λ1*（1）-（2）
k2（λ1-λ2）α2=0
因為α2是特徵向量，故不等於0
所以k2（λ1-λ2）=0
而λ1，λ2是矩陣A的兩個不同的特徵值
所以k2=0
代入（1）知k1=0.
故α1，α2線性無關

設入1入2是矩陣A的兩個不同的特徵值，a1a2分別屬於特徵值入1入2的特徵向量，證明：a1a2線性無關

反證吧：假設線性相關，設k*a1=a2（k不等於0）
入1*a1=A*a1
入2*a2=A*a2=A*（k*a1）=k*（A*a1）=k*入1*a1
得到a1=入2/（k*入1）*a2
最初我們假設a1=a2/k，所以入2/（k*入1）=1/k =>入1/入2=1，與題中入1入2不同衝突，故a1a2線性無關

設α是矩陣A的屬於特徵值λ的特徵向量，P為n階可逆陣，則α也是矩陣（）的特徵向量
A、P^-1AP B、A^2+3A C、A^2 D、P^TAP

Aα=λα，兩邊左乘A，得A^2α=Aλα=λAα=λλα=λ^2α，
所以λ^2是A^2的特徵根，α是對應的特徵向量.
答案選C

正交矩陣屬於不同特徵值的特徵向量一定正交嗎
對陣矩陣的一定正交，那一般的矩陣呢？還有正交矩陣呢？它們的不同特徵值的特徵向量一定會正交嗎？

是的.正交矩陣屬於不同特徵值的特徵向量一定正交.約定：複數λ的共軛複數記為λ′.矩陣（包括向量）A的共軛轉置矩陣（向量）記為A*A是正交矩陣，A*＝A^（-1），設λ1，λ2是A的兩個不同特徵值，則λ1λ2′≠1[λ2′＝1/…

正規矩陣不同特徵值的特徵向量兩兩正交

對稱矩陣不同特徵值的特徵向量一定是兩兩正交的，不需要加正規矩陣的條件：
設對稱矩陣A特徵值a1對應特徵向量x1，a2對應特徵向量x2，我們來證明x1'x2=0
考慮a1x1'x2=（a1x1）'x2=（Ax1）'x2=x1A'x2
a2x1x2=x1（a2x2）=x1Ax2.
這裡A是對稱陣，所以a1x1'x2=a2x1'x2，就是（a1-a2）x1'x2=0，因為a1和a2不等是已知條件，所以x1'x2=0.
這裡要注意Ax=ax，然後x1，x2都是向量，a1和a2都是數，x1'x2是向量的內積也是一個數..其他的就都是高中知識了

線代中是不是不同的特徵值對應的特徵向量必是正交的？同一個特徵值的不同特徵向量未必正交我是知道的
需不需要限定是實對稱矩陣？能不能簡要的說一下為什麼呢

不同的特徵值對應的特徵向量線性無關
實對稱矩陣的不同的特徵值對應的特徵向量正交
同一個特徵值的不同特徵向量未必正交，但可將其線性無關的特徵向量正交化
這個證明比較麻煩，至少需要3個定理，你還是看看書吧.

二次型矩陣，當求出矩陣特徵值後，為什麼還要特徵向量正交變換呢？
二次型矩陣，當我求出特徵值後（∧1，∧2，∧3），為什麼還要進行特徵向量正交呢？原標準型不是f=∧1（y1）^2+∧2（y2）^2+∧3（y3）^2
為什麼還要正交變換呢？

1.求出特徵值後，即知道了二次型的標準形.如果只是求其標準形，自然至此就完成任務了.
2.但若繼續問：要用怎樣的線性變換，把所述二次型化為標準形，這時就要回到：
f（x1，x2，x3）=X'AX.（X'表示X的轉置）
作變換：X=PY，得g（y1，y2，y3）=（PY）'A（PY）=Y'P'APY=Y'（P'AP）Y.
使（P'AP）成為對角陣即可.（契约）
3.但是，我們求特徵向量是按條件：P（逆）AP為對角陣.即按相似來求的.
為了能够用2的分析，就想到，當P是正交陣時，P（逆）=P'
為此求出特徵值之後，還要求特徵向量，還要正交化，標準化，構成正交陣，才能得到正交線性變換：X=PY.
當然，如果只是要求用可逆線性變換將二次型化為標準形，（只含平方項的），問題比這個相對簡單，相應的，保留的性質也比較少了.