rt. 證明：如果矩陣A與所有的n階矩陣可交換，則A一定是數量矩陣，即A＝aE

rt. 證明：如果矩陣A與所有的n階矩陣可交換，則A一定是數量矩陣，即A＝aE

記A=aij用Eij將第i行第j列的元素表示為1，而其餘元素為零的矩陣.因A與任何矩陣均可交換，所以必與E可交換.由AEij=EijA得aji=aij i=j=1,2,3，…n及aij=0
i不等於j
故A是數量矩陣

怎樣證明n階實矩陣退化則A乘以A的轉置是半正定矩陣

因為n階實矩陣A退化，
故IAI=0.
從而IA'I=IAI=0.
所以IAA'I=IAI*IA'I=0.
故AA'的特徵值都大於等於0，且至少有一個特徵值等於0.
囙此對於任意的實非零列向量x，
則有x'（AA'）x>=0.
故AA'是正定矩陣.

怎樣證明n階實矩陣非退化則A乘以A的轉置是正定矩陣

你可以考察AA‘的所有順序主子式，它們都大於0（比如b11=∑a1i²；）
這是因為A非退化（我理解就是|A|≠0），所以所有它的順序主子式不可能為0

設A是n（n>；=3）階矩陣，如果A≠0但A^3=0，試證明A不可對角化

反證法，如果A可對角化，那麼對角化A=PDP^{-1}之後A^3=PD^3P^{-1}=0 => D^3=0 => D=A=0，衝突

A為3階矩陣，|A-E|=|A-2E|=|A-3E|=0，求|A*-E|
|E-A|=（-1）^3*|A-E|=0
同理|2E-A|=|3E-A|=|E-A|=0

因為|A-E|=0
所以|E-A|=（-1）^3*|A-E|=0
同理|2E-A|=|3E-A|=|E-A|=0
由此我們可以知道，矩陣A的三個特徵值的為1,2,3（聯系矩陣的特徵值的求法）
所以矩陣A可逆，且|A|=1×2×3=6.
AA*=|A|E
所以A*=|A|A^（-1）[A^（-1）表示A的逆矩陣]
A的特徵值為1,2,3
所以A^（-1）的特徵值為1,1/2,1/3
所以A*的特徵值為6,3,2因為A*=|A|A^（-1）
所以我們知道，存在可逆矩陣P和它的逆矩陣Q【Q=P^（-1），】，使得PA*Q的結果為一對角陣D，即
PA*Q=D，且D的對角線元素為6,3,2
所以|A*-E|=|P| |A*-E| |Q|=|PA*Q-PEQ|=|D-E|因為P、Q互為逆矩陣|P|*|Q|=1，PEQ=E
D-E的結果是一對角陣，對角線元素為5,2,1
所以|A*-E|=|D-E| =5×2×1=10
對於矩陣E-A，相當於矩陣A-E的每行乘上-1
在計算行列式的時候，如果某一行（列）有公因數k，可以講k提到行列式外面
所以計算|E-A|時，每行都提出公因數-1，就得到|A-E|，總共3行
所以|E-A|=（-1）^3*|A-E|=0

設n階實方陣A滿足A^2-4A+3E=0，證明B=（2E-A）^T（2E-A）是正定矩陣

因為A^2-4A+3E=0
所以A（A-2E）-2（A-2E）-E=0
所以（A-2E）（A-2E）=E
所以A-2E可逆
所以2E-A可逆
所以B=（2E-A）^T（2E-A）是正定矩陣
--正定契约於單位矩陣

A為三階矩陣，已知|A+E|=0，|A+2E|=0，|A+3E|=0，則|A+4E|=？
..為什麼？

若|A|=0，則秩A

A為n階矩陣，且A^2-A=2E，證明A可以對角化
這是一類矩陣對角化的問題~請知道的稍微證明下~

很顯然，因為極小多項式沒有重根.

證明題：設A為n階矩陣，且A^2-A=2E.證明A可對角化.

這道題在不同的階段可以有不同的方法.
如果學了Jordan標準型和矩陣的最小多項式，可以用：
矩陣可對角化的充要條件是其最小多項式無重根（即Jordan塊都是1階的）.
由A²；-A = 2E，知x²；-x-2 =（x-2）（x+1）是A的一個化零多項式.
注意到該多項式沒有重根，而最小多項式必為化零多項式的因式，可知A的最小多項式沒有重根.
囙此A可對角化.
如果是沒學Jordan標準型，可以用：
矩陣可對角化的充要條件是其任意特徵值的幾何重數=代數重數.
這裡特徵值λ的幾何重數是指AX =λX的解空間維數，
代數重數是指其作為A的特徵多項式的根的重數（可證明幾何重數≤代數重數）.
因為屬於不同特徵值的特徵向量線性無關，上述條件等價於可以找到n個線性無關的特徵向量.
由A²；-A = 2E，知（A+E）（A-2E）= 0.
於是r（A+E）+r（A-2E）-n≤r（（A+E）（A-2E））= 0，即r（A+E）+r（A-2E）≤n.
-1作為A的特徵值的幾何重數= n-r（A+E），而2的幾何重數= n-r（A-2E）.
於是由n≥-1的代數重數+2的代數重數
≥-1的幾何重數+2的幾何重數
= n-r（A+E）+n-r（A-2E）
≥n，
可知A沒有-1,2以外的特徵值，且-1和2的幾何重數=代數重數，囙此A可對角化.

已知n階矩陣A滿足A^2（A-2E）=3A-11E，證明A+2E可逆，並求（A+2E）^-1

因為A^2（A-2E）=3A-11E
所以A^3-2A^2-3A+11E=0
所以A^2（A+2E）-4A（A+2E）+5（A+2E）+E=0
所以（A^2-4A+5E）（A+2E）=E
所以A+2E可逆，且（A+2E）^-1 = A^2-4A+5E