設A為n階實對稱矩陣，且A-3A+3A-E=0，證明A=E

設A為n階實對稱矩陣，且A-3A+3A-E=0，證明A=E

設λ是A的特徵值，則
λ^3-3λ^2+3λ-1=0
λ=1
所以，A與E相似
存在可逆矩陣P，使得
P^（-1）·A·P=E
∴A=P·E·P^（-1）=E

求證：若A，B都是n階對稱矩陣，則2A-3B也是對稱矩陣，AB-BA是反對稱矩陣

若A，B都是n階對稱矩陣，則有A的轉置=A，B的轉置=B.（2A--3B）的轉置=2*A的轉置-3*B的轉置=2A--3B∴2A-3B也是對稱矩陣.（AB--BA）的轉置=（AB）的轉置--（BA）的轉置=B的轉置*A的轉置--A的轉置*B的轉置= BA--AB=-（AB--BA）∴AB-BA…

設A為正交矩陣，證明A^2也是正交矩陣

正交矩陣的定義：
設A為n階方陣，若A'A = E，則稱A為正交矩陣.其中A'表示A的轉置矩陣.
證明：因為A為正交矩陣，所以A'A = E
由轉置的性質（AB）' = B'A'
所以有（A^2）'（A^2）=（A'A'）（AA）= A'（A'A）A = A'EA = A'A = E.
所以A是正交矩陣#

設A是正交矩陣，證明A^*也是正交矩陣

由於A為正交矩陣，所以|A|^2=1，A^-1也是正交矩陣，（（A^-1）^T（A^-1）=（A^T）^-1（A^-1）=（AA^T）^-1=E^-1=E），所以（A*）^TA*=（|A|A^-1）^T（|A|A^-1）=|A|^2（A^-1）^T（A^-1）=E，囙此A*也是正交矩陣.

設A，B都是n階正交矩陣，且|AB|

證：因為正交矩陣的行列式是正負1
再由|AB|

設A，B是n階正交矩陣，且| A|*| B|= -1，證明| A+B|=0這個是不一樣的！

因為A，B是正交矩陣
所以AA^T=A^TA=E，BB^T=B^TB=E
又因為|A||B|=-1
所以- |A+B|
= - |（A+B）^T|
= - |A^T+B^T|
= |A||A^T+B^T||B|
= |AA^TB+AB^TB|
= |B+A|
= |A+B|
所以|A+B| = 0.

設AB為n階正交矩陣且|A||B|=-1證明|A+B|=0

由於A，B為正交矩鎮，AA^T=E，BB^T=E
囙此A^T（A+B）B^T=B^T+A^T=（A+B）^T
所以
|A^T（A+B）B^T|=|（A+B）^T|=|A+B|
即
|A^T||（A+B）||B^T|=|A+B|
|A||A+B||B|=|A+B|
-|A+B|=|A+B|
|A+B|=0

A為N階正交矩陣，證明：若N為偶數且|A|=-1，則|E-A|=0

設A.B為n階正交矩陣，n為奇數，證明|（A-B）（A+B）|=0.

A與B為n階正交矩陣，且n為奇數，證明：（A -B）（A+B）=0

最後是證明行列式為0，不是證明矩陣乘積為0.
反證法：若A-B和A+B都非奇异，則（A-B）^T（A+B）=A^TA-B^TA+A^TB-B^TB=A^TB-B^TA是非奇异陣，但A^TB-B^TA是奇數階反對稱陣，行列式必為0，衝突.