A是n階方陣，若存在n階方陣B不等於0，使得AB=0，證明A的秩小於n

A是n階方陣，若存在n階方陣B不等於0，使得AB=0，證明A的秩小於n

因為AB=0
所以B的列向量都是AX=0的解
又因為B≠0，所以AX=0有非零解.
所以r（A）< n.

設a是n階方陣a的行列式=0證明其等價於存在n階方陣b不等於0使得ab =0

設A*為N階方陣A的伴隨矩陣，證明是det（A）=o，則det（A*）=0.

det（A）=o說明R（A）

設A為n階非零實方陣，A*是A的伴隨矩陣，AT是A的轉置矩陣，當A*=AT時，證明|A|≠0後面的一部分解答沒看懂
證明：由已知A*=A^T
所以有AA^T = AA* = |A|E.
再由A為n階非零實方陣，可設aij≠0.
考慮AA^T = |A|E第i行第i列的元素，得
|A| = ai1^2+…+aij^2+…+ain^2 > 0
（因為ai1，…，aij，…，ain都是實數，且aij≠0）
所以|A|≠0.
考慮AA^T = |A|E第i行第i列的元素，得|A| = ai1^2+…+aij^2+…+ain^2 > 0，這是怎麼過來的？

|A|E=AA^T，那麼|A|E的第i行第i列的元素就是A的第i行元素與A^T的第i列的元素逐個相乘之和，
【逐個相乘就是A的第i行第1列的元素與A^T的第i列第1行的元素相乘，A的第i行第2列的元素與A^T的第i列第2行的元素相乘，…，A的第i行第j列的元素與A^T的第i列第j行的元素相乘，…，A的第i行第n列的元素與A^T的第i列第n行的元素相乘，
而A^T的第i列第j行的元素就是A的第i行第j列的元素，
然後求和就是AA^T的第i行第i列元素，也就是|A|E第i行第i列的元素】
也就是|A|E中第i行第i列的|A|=ai1^2+…+aij^2+…+ain^2
由於已經設aij≠0，所以|A|>0

矩陣的秩和非零特徵根的個數有何關係，為什麼？
請說明理由，

樓上給出的是很多人都犯的錯誤.
事實上方陣的秩大於等於非零特徵值的個數，直接從Jordan標準型看就行了.

矩陣有幾個非零特徵值秩就是幾嘛

不一定，【0 1
0 0】
秩為1，但特徵值全為0

設A為三階方陣，且A的平方等於0，怎樣求A的秩和A的伴隨矩陣的秩

A為三階矩陣
A^2=0
則2r（A）《3
r（A）《1
r（A）=0,1
若r（A）=0，
則r（A*）=0
若r（A）=1〈（n-1）=2，
則r（A*）=0

n階方陣A滿足A的平方等於A，請利用矩陣的滿秩分解證明A的秩加A-E的秩大於等於n，並進而證明其等於n.

A^2=A
->A（A-E）=0
所以r[A（A-E）]≥r（A）+r（A-E）-n
r（A）+r（A-E）≥r（A-A+E）
所以r（A）+r（A-E）=n
也可以用分塊矩陣做

a平方等於a的二階矩陣

樓上的不要誤人子弟，除了0和I之外，與
1 0
0 0
相似的所有矩陣都滿足條件，可是你一個也沒找到.

線性代數題，設A為2005階矩陣，且滿足A的轉置等於負A，這A的行列式大小為0.

這其實是一個基本定理：奇數階的反對稱矩陣（AT=-A）對應的行列式值為0.證明如下：首先，根據行列式的性質，假如A的某一行全部乘以X，則|A|的值也會變成X|A|現在將A的每一行都逐一乘以-1，則總共乘了奇數個-1，所以對應的行…