設△ABC的內角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且acosB-bcosA=2c.（Ⅰ）求證：tanA=-3tanB；（Ⅱ）求角C的最大值.

設△ABC的內角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且acosB-bcosA=2c.（Ⅰ）求證：tanA=-3tanB；（Ⅱ）求角C的最大值.

（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理及acosB-bcosA=2c，（2分）可得sinAcosB-sinBcosA=2sinC=2sin（A+B）=2sinAcosB+2cosAsinB∴sinAcosB=-3cosAsinB，故tanA=-3tanB； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ；& nbsp； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ；（4分）（Ⅱ）由tanA=-3tanB，可知在A，B中必一個是鈍角，另一個是銳角； ； ； ； ； ；（6分）假設B是鈍角，則acosB-bcosA=2c＜0，與已知衝突，故B必是銳角，A是鈍角，∵A+B+C=π，故tanC=-tan（A+B）=tanA+tanBtanAtanB−1，將tanA=-3tanB代入，得tanC=21tanB+3tanB≤33，（8分）故C≤π6，當且僅當3tanB= 1tanB，即tanB=33時等號成立，此時tanA=-3，也即當A=2π3，B=π6時，C取得最大值π6. ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ；（12分）

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若bcosA-acosB=12c.（I）求證：tanB=3tanA；（Ⅱ）若tanC=2，求角A的值.