為什麼用待定係數法求通項公式要驗證n=1

為什麼用待定係數法求通項公式要驗證n=1

因為n=1時，這個方法不適用，這裡涉及到高等數學的知識，就不詳細說明了，你想知道可以自己參攷相關數學專業書籍

求遞迴數列a（n）=（n-1）a（n-1）+1，n>1；a1=1的通項公式？

式1:a（n）=（n-1）* a（n-1）+ 1
式2:a（n-1）=（n-2）* a（n-2）+ 1，兩邊同時乘以（n-1）得
（n-1）* a（n-1）=（n-1）（n-2）* a（n-2）+（n-1），同樣可以得到
式3:（n-1）（n-2）* a（n-3）=（n-1）（n-2）（n-3）* a（n-3）+（n-1）（n-2）
…………
式n（n-1）（n-2）…2 * a（2）=（n-1）（n-2）…1 * a（1）+（n-1）（n-2）…2
把上面的n個式子累加，並約掉式子兩邊相同的項，可以得到：
a（n）=（n-1）！* a（1）+ 1 +（n-1）+（n-1）（n-2）+ .+（n-1）（n-2）…2
代入a（1）=1，同時每一項的分子分母同時乘以適當的因數
=（n-1）！/0！+（n-1）！/（n-1）！+（n-1）！/（n-2）！+（n-1）！/（n-3）！+…+（n-1）！/1！
選取公共因數
=（n-1）！*求和（1/i！），其中i=從0到n-1

6.試用特徵根方程法，求滿足下列遞推式的數列a（n）.
（1）a（n+2）=a（n+1）+2a（n），a（0）=1，a（1）=0；
（2）a（n+2）=3a（n+1）-2a（n），a（0）=0，a（1）=1
（3）a（n+3）-2a（n+2）-a（n+1）+2a（n）=0，a（0）=0，a（1）=0，a（2）=6
（1）a（n）=[（2^n）+2*（-1）^n]/3
（2）a（n）=（2^n）-1
（3）a（n）=2^（n+1）-3+（-1）^n
請寫出詳細過程及思路.

（1）：a（n+2）=a（n+1）+2a（n）的特徵方程為：x^2=x+2，x=-1,2；
可以設通項為：a（n）=c1*（-1）^n+c2*2^n，a（0）=1，a（1）=0，
c1+c2=1，
-c1+2c2=0解得：
c1=2/3，c2=1/3，
a（n）=[（2^n）+2*（-1）^n]/3
（2）：特徵根為1,2，方法同上.
（3）：特徵方程為x^3-2x^2-x+2=0，（x-1）（x-2）（x+1）=0，特徵根為1,2，-1
設通解為：a（n）=c1*1^n+c2*（-1）^n+c3*2^n=c1+c2*（-1）^n+c3*2^n
a（0）=0，a（1）=0，a（2）=6帶入解得c1，c2，c3即得.
一般特徵根方程法求通項，先寫出它的特徵方程，求出特徵根（x1，x2，x3…，xm），然後設通項為：a（n）=c1*x1^n+c2*x2^n+…+cm*xm^n
，根據前m項解方程組，求出c1，c2，…，cm.