如圖所示，F1，F2分別為橢圓的左、右焦點，橢圓上點M的橫坐標等於右焦點的橫坐標，其縱坐標等於短半軸長的23，求橢圓的離心率.

如圖所示，F1，F2分別為橢圓的左、右焦點，橢圓上點M的橫坐標等於右焦點的橫坐標，其縱坐標等於短半軸長的23，求橢圓的離心率.

設橢圓的長半軸、短半軸、半焦距長分別為a、b、c，可得焦點為F1（-c，0）、F2（c，0），點M的座標為（c，23b），∵Rt△MF1F2中，F1F2⊥MF2，∴|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2，即4c2+49b2=|MF1|2，根據橢圓的定義得| MF1|+|MF2|=2a，可得|MF1|2=（2a-|MF2|）2=（2a-23b）2，∴（2a-23b）2=4c2+49b2，整理得4c2=4a2-83ab，可得3（a2-c2）=2ab，所以3b2=2ab，解得b=23a，∴c=a2−b2=53a，囙此可得e=ca=53，即該橢圓的離心率等於53.

F1 F2分別是橢圓的左、右焦點，橢圓上點M的橫坐標等於右焦點的橫坐標，其縱坐標等於短半軸的
⅔；，求橢圓的離心率.求具體過程，

這考的是通徑的知識點：橢圓中，過焦點垂直於長軸的弦稱為通徑，其長度d=2b^2/a所以半通徑=b^2/a；點M的橫坐標等於右焦點的橫坐標，意味著點M是通徑與橢圓的交點，所以其縱坐標=±b^2/a；由題知：b^2/a=2b/3，得：b/a=2/3…

設F1，F2為橢圓x24+y23＝1左、右焦點，過橢圓中心任作一條直線與橢圓交於P，Q兩點，當四邊形PF1QF2面積最大時，PF1•PF2的值等於（）
A. 0B. 1C. 2D. 4

由於橢圓方程為x24+y23＝1，故a=2，b=3，故c=a2−b2=1由題意當四邊形PF1QF2的面積最大時，點P，Q恰好是橢圓的短軸的端點，此時PF1=PF2=a=2，由於焦距|F1F2|=2c=2，故△PF1F2為等邊三角形，故∠F1PF2=60°，故PF1•PF2=2×2×cos60°=2故選C

設A，F分別是橢圓x^2/a^2+y^2+b^2=1（a>b>0）的左頂點和右焦點，若在其右準線上存在一點p，使得線段PA的垂直平
使得線段PA的垂直平分線恰好經過點F，則橢圓的離心率的取值範圍是？

由題意可得，PF=AF＝a＋c≥d＝a²；/c-c（d為F與準線之間的距離）
a+c≥（a²；-c²；）/c
ac+c²；≥a²；-c²；
再同除以a²；，可得
c/a + c²；/a²；≥1-c²；/a²；
e+e²；≥1-e²；
2e²；+e-1≥0
解得0.5≤e＜1
取等號時，AF=d，中垂線肯定經過F

已知橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1的左頂點為A，上頂點為B，右焦點為F，設AB中點為M，若2MA*MF+BF^2>0，則該橢圓的離心
已知橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1的左頂點為A，上頂點為B，右焦點為F，設AB中點為M，若2向量MA*向量MF+向量BF^2>=0，則該橢圓的離心率為？

在橢圓9x^2+25y^2=225上求一p點，使它到左焦點的距離等於它到右焦點距離的兩倍
急要！

x^2/25+y^2/9=1
a=5
所以PF1+PF2=2a=10
設F1是左焦點
所以PF1=2PF2
所以2PF2+PF2=10
PF2=10/3
c^2=a^2-b^2=16
所以F2（4,0）
P（m，n）
所以PF2^2=（m-4）^2+n^2=（10/3）^2
P在橢圓上
所以m^2/25+n^2/9=1
n^2=9-9m^2/25
所以（m-4）^4+9-9m^2/25=100/9
9m^2-72m+125-81m^2/25=0
144m^2-1800m+3125=0
（12m-125）（12m-25）=0
m=125/12，m=25/12
因為a=5，所以橫坐標最大是5
所以m=25/12，n^2=9-9m^2/25=119/16
所以P（25/12，√119/4）或P（25/12，-√119/4）

已知橢圓x²；/a²；+y²；/b²；＝1（a＞b＞0）的離心率為√2/2，過點B（0，-2）及左焦點F1的直線交橢圓於C，D兩點，右焦點設為F2.1.求橢圓的方程.2，求△CDF2的面積

（1）∵橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的一個頂點為A（0,1），
離心率為√2/2，
∴b=√a^2−；c^2=1，且c/a=√2/2，
解之得a=√2，c=1
可得橢圓的方程為
x^2/2 +y^2＝1；
（2）∵左焦點F1（-1,0），B（0，-2），得F1B直線的斜率為-2
∴直線F1B的方程為y=-2x-2
由y＝−；2x−；2
x^2/2+y^2=1，
化簡得9x^2+16x+6=0.
∵△=162-4×9×6=40＞0，
∴直線與橢圓有兩個公共點，設為C（x1，y1），D（x2，y2），
則
x1+x2＝−；16/9
x1•；x2＝2/3
∴|CD|=√1+（−；2）^2|x1-x2|=√5 *√[（x1+x2）^2-4x1x2]
=√5 *√[（-16/9）^2-4*2/3]=10√2/9
又∵點F2到直線BF1的距離d=|−；2−；2|/√5=4√5/5，
∴△CDF2的面積為S=1/2|CD|×d
=1/2 * 10√2/9 * 4√5/5
=4√10/9

已知橢圓C:x²；/a²；+y²；/b²；=1（a＞b＞0）F為其焦點離心率為e
（1）若抛物線x=1/8y²；的準線經過F點且橢圓C經過P（2,3），求此時橢圓C的方程
（2）若A（0，a）的直線與橢圓C相切於M，交x軸於B，且向量AM=μ向量BA求證μ+e²；=0

（1）抛物線x=1/8y²；即y²；=8y準線為x=-2，則x=-2經過橢圓左焦點F1，那麼c=2∴F1（-2,0），F2（2,0）∵橢圓C經過P（2,3）∴2a=|PF1|+|PF2|=√[（2+2）²；+（3-0）²；]+√（2-2）²；+（3-0）&# 178；]=5+3=8∴a=4，b…

已知橢圓c:x²；+y²；=1（a＞b＞0）的右焦點F（1,0），離心率為1/2，過點F的直線l交橢圓c於A，B兩點，且27/11≤|FA|×|FB|≤3⑴求橢圓c的方程；⑵求直線l的斜率的取值範圍

過橢圓4x²；+y²；=1的一個焦點F₁；的直線交與橢圓A.B兩點，F₂；是橢圓的另一個焦點，則三角
ABF₂；的周長是？

x²；/（1/4）+y²；/1=1
1/4