有誰能給出有關指數函數單調性的嚴格證明？ 可以詳細一點嗎 我就是想避開使用高數的辦法： 我想的是設X1小於X2，即△x=X2-X1＞0 ∴△y＝a^X2-a^X1=a^X1*[a^（X2-X1）-1] ∴當a＞1時，只要能證明a^（X2-X1）＞1就可以說明函數在 a＞1是增函數了。 所以現在的問題又變為該怎樣證明在當a＞1時，有a^（X2-X1）＞1。這好像又涉及到冪函數的單調性問題。 冪函數該怎麼處理呢？如果誰知道就好了（儘量避開高等數學）

有誰能給出有關指數函數單調性的嚴格證明？ 可以詳細一點嗎 我就是想避開使用高數的辦法： 我想的是設X1小於X2，即△x=X2-X1＞0 ∴△y＝a^X2-a^X1=a^X1*[a^（X2-X1）-1] ∴當a＞1時，只要能證明a^（X2-X1）＞1就可以說明函數在 a＞1是增函數了。 所以現在的問題又變為該怎樣證明在當a＞1時，有a^（X2-X1）＞1。這好像又涉及到冪函數的單調性問題。 冪函數該怎麼處理呢？如果誰知道就好了（儘量避開高等數學）

對a^x，a > 0，討論它的單調性就不能不先說明它的確切定義.
指數函數是定義在整個實數區間上的.我們先說在整數上的定義：
a^n = a * a *…* a（n > 0，下同）（n個a相乘）
a^0 = 1
a^（-n）= 1 / a^n
再說有理數集上的定義：
a^（1 / n）= a的n次算術根，
a^（p / q）=（a^p）的q次算術根，其中p / q是既約分數.
這樣一來，有理數集上的指數函數就定義好了.並且用初等的方法不難證明在有理數集上a^（p / q）的單調性.事實上，對a^（p1 / q1）和a^（p2 / q2），可以把分數p1 / q1和p2 / q2通分，這樣分母相同，設分別是p1' / q，p2' / q.現在就是在比以a^（1 / q）為底，以p1'和p2'為指數的兩個數大小.顯然當a >1時，a^（1 / q）> 1，從而可知函數是嚴格單調增的；反之，a < 1時，也能證出函數是嚴格單調减的.
現在對任意的實數x，可以取一個有理數列{Qn}，當n無限增大時它單調趨於x，那麼就可以把a^x定義為a^Qn當n無限增大時的極限.
我們用有理數列來逼近指數函數，那麼對相差任意接近的兩個實數就可以取兩個足够精確的有理數來代替它們，並且保持大小關係不變.（當然，這其中還有一些運算保證，比如說，前面那個定義為什麼是合理的，即為什麼極限存在等等，我就不寫了.）這樣一來，實數下指數函數的單調性可以化歸為有理數下的單調性，並與之相同.

用作商法證明指數函數的單調性
y=a的x次幂

設任意x1，x2屬於R，且x1

指數函數單調性的嚴格證明

證：設f（x）=a的x次，a＞0，x∈R
f‘（x）=a的x次方*lna
①如果a＞1，則lna＞0，此時f’（x）＞0，指數函數單調遞增
②如果a＜1，則lna＜0，此時f‘（x）＜0，指數函數點掉遞減
證畢