lim arctan（1/x）當x趨近於0是的值是多少

lim arctan（1/x）當x趨近於0是的值是多少

答：lim arctan（1/x）當x趨近於0是的值是π/2

lim（arctan X）/x，x趨近於0，怎麼解？

洛必達法則，
lim=（上下求導）（1/（1+x^2））/1=1/（1+x^2）=1/（1+0^2）=1/1=1.

關於lim[x->0，cotx（1/sinx-1/x）中使用無窮小替換的問題
lim[x->0，cotx（1/sinx-1/x）
=lim[x->0，（cotx/sinx-cotx/x）
=lim[x->0,1/sinxtanx]-lim[x->0,1/xtanx]（用無窮小替換）
=lim[x->0,1/x^2]-lim[x->0,1/x^2]
=lim[x->0,1/x^2-1/x^2]
=lim[x->0,0]=0
這麼做為什麼得出的答案是錯的？正確答案是1/6，是用無窮小替換那一步出錯了嗎？課那個時候我已經是在SINX和TANX不牽扯加減法只在乘除法的情况下才替換的.勞煩說明一下原因，最好能把正確解法綴上，

lim[x->0，cotx（1/sinx-1/x）
=lim[x->0，cosx（x-sinx）/[x（sinx）^2]
=lim[x->0，[xcosx-sinxcosx]/x^3
=lim[x->0，（xcosx-1/2sin2x）/x^3
=lim[x->0，（cosx-xsinx-cos2x）/3x^2
=lim[x->0，（-sinx-sinx-xcosx+2sin2x）/6x
=lim[x->0，（-2cosx-cosx+xsinx+4cos2x）/6
=lim[x->0，（-3cosx+xsinx+4cos2x）/6
=lim[x->0，（-3+0+4）/6
=1/6