證明：所有N階對稱矩陣組成（N^2+2N）/2維線性空間；所以反N階對稱矩陣組成（N^2-N）/2維線性空間；

證明：所有N階對稱矩陣組成（N^2+2N）/2維線性空間；所以反N階對稱矩陣組成（N^2-N）/2維線性空間；

n階對稱矩陣的主控元素是主對角線上方（含主對角線）的元素
記Eij為第i行第j列元素為1，第j行第i列元素為1，其餘全是0的n階矩陣
則Eij，i

設U是所有n階實矩陣構成的空間，其中的對稱矩陣構成線性子空間V，反對稱矩陣構成線性子空間W.證明U=V⊕W
麻煩老師了！

全體可逆矩陣是否構成實數域上的線性空間？全體N階矩陣呢？如果是，請求出該空間的維數和一組基

全體可逆矩陣是否構成實數域上的線性空間？
不是.因為逆對矩陣的加法不封閉，即可逆矩陣的和不一定是可逆矩陣.
全體N階矩陣
可構成實數域上的線性空間.
記εij為第i行第j列元素為1，其餘都是0的n階矩陣
則εij，i，j=1,2，…，n即構成一組基
所以空間的維數是n^2

證明任意一個n階方陣可以表示成一個對稱矩陣和反對稱矩陣之和
我知道我很蠢，但是沒辦法啊，

對任意的n階方陣A，令B =（A+A'）/2，C =（A-A'）/2，則容易驗證
A = B + C
並且B是對稱的（B'=B），C是反對稱的（C'=-C）.
這裡X'表示X的轉置.

A為n階矩陣，對於任意n*1矩陣a都有aT*A*a=0證明A為反對稱矩陣

設A的元素為：a（i，j），i，j = 1,2，…n取：aT=（0,0…1.，0，…0）（第i個為1，其餘為0）則由aT*A*a=0，可得出：a（i，i）=0 i=1,2，…n.再取：aT=（0，..1,0，..1,0,0）（第i個和第j個為1，其餘為0）則由aT*A*a=0，得出：a（i，j）+a（j，i）=0…

設A為n階對稱矩陣，B為n階反對稱矩陣，證明（A+B）（A-B）是對稱矩陣

由已知A^T=A，B^T=-B
所以[（A+B）（A-B）]^T
=（A-B）^T（A+B）^T
=（A^T-B^T）（A^T+B^T）
=（A+B）（A-B）
所以（A+B）（A-B）是對稱矩陣

A是n階方陣，如何證明A*A^T是半正定矩陣
A乘以A的轉置得到的矩陣

x^T（AA^T）x
=（A^Tx）^T（A^Tx）
這是A^Tx與A^Tx的內積，恒有
>=0
所以AA^T半正定
（對稱略）

證明：對任意的m*n矩陣A，A^T*A和A*A^T都是對稱矩陣

因為（AA^T）^T =（A^T）^TA^T = AA^T
所以AA^T是對稱矩陣
同理，因為（A^TA）^T = A^T（A^T）^T = A^TA
所以A^TA是對稱矩陣.
性質：（AB）^T=B^TA^T
還有什麼問題……
要證D對稱則要證D^T=D

證明：對任意的n級矩陣A，A+A^T偉對稱矩陣，A-A^T為反對稱矩陣

（A+A'）' = A'+A = A+A'，所以A+A'是對稱的.
（A-A'）' = A'-A = -（A-A'），所以A-A'是反對稱的.

設A，B為n階矩陣，且A為對稱矩陣，證明B＾TAB也是對稱矩陣

因為A是對稱矩陣，所以A' = A（A'即A的轉置）
所以（B'AB）' = B'A'（B'）' = B'AB
所以B'AB也是對稱矩陣.