用定義法如何證明數列極限 請給出解題步驟.判斷該數列有無極限.若有請寫出. Xn=cos（1/n）

用定義法如何證明數列極限 請給出解題步驟.判斷該數列有無極限.若有請寫出. Xn=cos（1/n）

該數列有極限的，極限為1.證明如下：對任意ε>0，要使
|cos（1/n）-1| = |-2{sin[（1/n）/2]}^2]| < 2*[（1/n）/2]}^2 < 1/n^2 < 1/n<ε，
只需n > 1/ε，取N=[1/ε]+1，則當n>N時，有
|cos（1/n）-1| < 1/n< 1/N

用不定點法求數列極限不定點怎麼求
設X1=2 Xn+1=2+1/Xn求數列極限

令極限為A，則A=2+1/A，A^2-2A-1=0
解得A=√2+1（負根舍之）

數列極限中的不動點法如何求通項

通常為了求出遞推數列a[n+1]=（ca[n]+d）/（ea[n]+f）【c、d、e、f是不全為0的常數，c、e不同時為0】的通項，我們可以採用不動點法來解.假如數列{a[n]}滿足a[n+1]=f（a[n]），我們就稱x=f（x）為函數f（x）的不動點方程，其根稱為函數f（x）的不動點.至於為什麼用不動點法可以解得遞推數列的通項，這足可以寫一本書.但大致的理解可以這樣認為，當n趨於無窮時，如果數列{a[n]}存在極限，a[n]和a[n+1]是沒有區別的.
首先，要注意，並不是所有的遞推數列都有對應的不動點方程，比如：a[n+1]=a[n]+1/a[n].其次，不動點有相异不動點和重合不動點.
下麵結合不動點法求通項的各種方法看幾個具體的例子吧.
例1：已知a[1]=2，a[n+1]=2/（a[n]+1），求通項.
【說明：這題是“相异不動點”的例子.】
先求不動點
∵a[n+1]=2/（a[n]+1）
∴令x=2/（x+1），解得不動點為：x=1和x=-2【相异不動點】
∴（a[n+1]-1）/（a[n+1]+2）【使用不動點】
=（2/（a[n]+1）-1）/（2/（a[n]+1）+2）
=（2-a[n]-1）/（2+2a[n]+2）
=（-a[n]+1）/（2a[n]+4）
=（-1/2）（a[n]-1）/（a[n]+2）
∵a[1]=2
∴（a[1]-1）/（a[1]+2）=1/4
∴{（a[n]-1）/（a[n]+2）}是首項為1/4，公比為-1/2的等比數列
∴（a[n]-1）/（a[n]+2）=1/4（-1/2）^（n-1）
解得：a[n]=3/[1-（-1/2）^（n+1）]-2
例2：已知數列{a[n]}滿足a[1]=3，a[n]a[n-1]=2a[n-1]-1，求通項.
【說明：這題是“重合不動點”的例子.“重合不動點”往往採用取倒數的方法.】
∵a[n]=2-1/a[n-1]
∴採用不動點法，令：x=2-1/x
即：x^2-2x+1=0
∴x=1【重合不動點】
∵a[n]=2-1/a[n-1]
∴a[n]-1=2-1/a[n-1]-1【使用不動點】
a[n]-1=（a[n-1]-1）/a[n-1]
兩邊取倒數，得：1/（a[n]-1）=a[n-1]/（a[n-1]-1）
即：1/（a[n]-1）-1/（a[n-1]-1）=1
∵a[1]=3
∴{1/（a[n]-1）}是首項為1/（a[1]-1）=1/2，公差為1的等差數列
即：1/（a[n]-1）=1/2+（n-1）=（2n-1）/2
∴a[n]=2/（2n-1）+1=（2n+1）/（2n-1）
例3：已知數列{a[n]}滿足a[1]=1/2，S[n]=a[n]n^2-n（n-1），求通項.
【說明：上面兩個例子中獲得的不動點方程係數都是常數，現在看個不動點方程係數包含n的例子.】
∵S[n]=a[n]n^2-n（n-1）
∴S[n+1]=a[n+1]（n+1）^2-（n+1）n
將上面兩式相减，得：
a[n+1]=a[n+1]（n+1）^2-a[n]n^2-（n+1）n+n（n-1）
（n^2+2n）a[n+1]=a[n]n^2+2n
（n+2）a[n+1]=na[n]+2
a[n+1]=a[n]n/（n+2）+2/（n+2）【1】
採用不動點法，令：x=xn/（n+2）+2/（n+2）
解得：x=1【重合不動點】
設：a[n]-1=b[n]，則：a[n]=b[n]+1【使用不動點】
代入【1】式，得：b[n+1]+1=（b[n]+1）n/（n+2）+2/（n+2）
b[n+1]=b[n]n/（n+2）
即：b[n+1]/b[n]=n/（n+2）
於是：【由於右邊隔行約分，多寫幾行看得清楚點】
b[n]/b[n-1]=（n-1）/（n+1）【這裡保留分母】
b[n-1]/b[n-2]=（n-2）/n【這裡保留分母】
b[n-2]/b[n-3]=（n-3）/（n-1）
b[n-3]/b[n-4]=（n-4）/（n-2）
.
b[5]/b[4]=4/6
b[4]/b[3]=3/5
b[3]/b[2]=2/4【這裡保留分子】
b[2]/b[1]=1/3【這裡保留分子】
將上述各項左右各自累乘，得：
b[n]/b[1]=（1*2）/[n（n+1）]
∵a[1]=1/2
∴b[1]=a[1]-1=-1/2
∴b[n]=-1/[n（n+1）]
∴通項a[n]=b[n]+1=1-1/[n（n+1）]
例4：已知數列{a[n]}滿足a[1]=2，a[n+1]=（2a[n]+1）/3，求通項.
【說明：這個例子說明有些題目可以採用不動點法，也可以採用其他解法.】
∵a[n+1]=（2a[n]+1）/3
求不動點：x=（2x+1）/3，得：x=1【重合不動點】
∴a[n+1]-1=（2a[n]+1）/3-1【使用不動點】
即：a[n+1]-1=（2/3）（a[n]-1）
∴{a[n]-1}是首項為a[1]-1=1，公比為2/3的等比數列
即：a[n]-1=（2/3）^（n-1）
∴a[n]=1+（2/3）^（n-1）
【又】∵a[n+1]=（2a[n]+1）/3
∴3a[n+1]=2a[n]+1
這時也可以用待定係數法，甚至直接用觀察法，即可得到：
3a[n+1]-3=2a[n]-2
∴a[n+1]-1=（2/3）（a[n]-1）
【下麵同上】
例5：已知數列{x[n]}滿足x[1]=2，x[n+1]=（x[n]^2+2）/（2x[n]），求通項.
【說明：現在舉個不動點是無理數的例子，其中還要採用對數的方法.】
∵x[n+1]=（x[n]^2+2）/（2x[n]）
∴採用不動點法，設：y=（y^2+2）/（2y）
y^2=2
解得不動點是：y=±√2【相异不動點為無理數】
∴（x[n+1]-√2）/（x[n+1]+√2）【使用不動點】
={（x[n]^2+2）/2x[n]-√2}/{（x[n]^2+2）/2x[n]+√2}
=（x[n]^2-2√2x[n]+2）/（x[n]^2+2√2x[n]+2）
={（x[n]-√2）/（x[n]+√2）}^2
∵x[n+1]=（x[n]^2+2）/2x[n]=x[n]/2+1/x[n]≥2/√2=√2
∴ln{（x[n+1]-√2）/（x[n+1]+√2）}=2ln{（x[n]-√2）/（x[n]+√2）}【取對數】
∵x[1]=2>√2
∴（x[1]-√2）/（x[1]+√2）=3-2√2
∴{ln（（x[n]-√2）/（x[n]+√2））}是首項為ln（3-2√2），公比為2的等比數列
即：ln{（x[n]-√2）/（x[n]+√2）}=2^（n-1）ln（3-2√2）
（x[n]-√2）/（x[n]+√2）=（3-2√2）^[2^（n-1）]
x[n]-√2=（3-2√2）^[2^（n-1）]（x[n]+√2）
x[n]-x[n]（3-2√2）^[2^（n-1）]=√2（3-2√2）^[2^（n-1）]+√2
∴x[n]=√2{1+（3-2√2）^[2^（n-1）]}/{1-（3-2√2）^[2^（n-1）]}
例6：已知數列{a[n]}滿足a[1]=2，a[n+1]=（1+a[n]）/（1-a[n]），求通項.
【說明：現在舉個不動點是虛數的例子，說明有些題目可以採用不動點法，但採用其他解法可能更方便.】
求不動點：x=（1+x）/（1-x），即：x^2=-1，得：
x[1]=i，x[2]=-i【相异不動點為虛數，i為虛數組織】
∴（a[n+1]-i）/（a[n+1]+i）【使用不動點】
={（1+a[n]）/（1-a[n]-i}/{（1+a[n]）/（1-a[n]+i}
=（1+a[n]-i+a[n]i）/（1+a[n]+i-a[n]i）
={（1+i）/（1-i）}{（a[n]-i）/（a[n]+i）}
=i（a[n]-i）/（a[n]+i）
∵a[1]=2
∴{（a[n]-i）/（a[n]+i）}是首項為（a[1]-i）/（a[1]+i）=（2-i）/（2+i），公比為i的等比數列
即：（a[n]-i）/（a[n]+i）=[（2-i）/（2+i）]i^（n-1）
（a[n]-i）（2+i）=（a[n]+i）（2-i）i^（n-1）
2a[n]-2i+ia[n]+1=（2a[n]+2i-ia[n]+1）i^（n-1）
{2+i-（2-i）（i）^（n-1）}a[n]=2i-1+（2i+1）i^（n-1）
a[n]=[2i-1+（2i+1）i^（n-1）]/[2+i-（2-i）i^（n-1）]
∴a[n]=[2i-1+（2-i）i^n]/[2+i-（2-i）i^（n-1）]
【下麵用“三角代換”，看看是否更巧妙一些.】
∵a[n+1]=（1+a[n]）/（1-a[n]）
∴令a[n]=tanθ，則a[n+1]=[tan（π/4）+tanθ]/[1-tan（π/4）tanθ]=tan（π/4+θ）
∵θ=arctan（a[n]），π/4+θ=arctan（a[n+1]）
∴上面兩式相减，得：arctan（a[n+1]）-arctan（a[n]）=π/4
∵a[1]=2
∴{arctan（a[n]）}是首項為arctan（a[1]）=arctan2，公差為π/4的等差數列
即：arctan（a[n]）=arctan2+（n-1）π/4
∴a[n]=tan[（n-1）π/4+arctan2]

問一道關於相似矩陣的證明題（線性代數）
設A，B為n階矩陣，且A與B相似，E為n階單位矩陣.證明：對任意常數t，tE-A與tE-B相似.

A與B相似，這意味著必存在一個可逆矩陣P使得A=P*B*P^（-1）.這樣的話，對於任意常數t，我們有：P*（tE-B）*P^（-1）=P*tE*P^（-1）-P*B*P^（-1）=t（P*E*P^（-1））-A=t（P*P^（-1））-A=tE-A於是tE-A=P*（tE-B）*P^（-1），根據相似的定義可以…

設矩陣A可逆，證明（A*）-1=|A-1|A.

若矩陣可逆，則A˜；¹；= 1/|A|×A*，等價於AA* = |A|E，（E是n階組織陣）
由於|A˜；¹；|= 1/|A|，所以|A˜；¹；|×AA*= E，
所以A*的逆矩陣為：|A˜；¹；|×A .

關於可逆矩陣的證明問題
設P是n階可逆矩陣，如果B=p^（-1）AP，證明：B^m=P^（-1）A^mP，這裡m為任意整數.
m是正整數

這樣證明：
B^m=P^（-1）A^mP=BB…B（m個B相乘）=（p^（-1）AP）*（p^（-1）AP）…（p^（-1）AP）=p^（-1）AP*p^（-1）AP*p^（-1）AP*…p^（-1）AP
又因為p^（-1）*P=E，所以上式變為B^m=p^（-1）A*E*A*E*…*A*P=P^（-1）A^mP
即B^m=P^（-1）A^mP，
此題得證.

證明矩陣總是為可逆矩陣
證明（（A^T）A+λI）總是一個可逆矩陣，其中λ總為正值

考慮線性方程組[（A^T）A+λI]x=0，故有（A^T）Ax=-λx，即x為（A^T）A的對應於負特徵值-λ的特徵向量.又因為（A^T）A為半正定矩陣，其特徵值均非負，所以x=0，所以矩陣（A^T）A+λI可逆.

關於一個線代矩陣的問題
已知A的3次方等於E，那麼A的平方加A加E為多少，是否為零.
A3=E，那麼A2+A+E是否為零，請寫根據
其實我是想證明A+E是否可逆，所以要先推出A^2-A+E，就是算不出來是怎麼一種情况，麻煩再清楚點

A^3=E，則A的特徵值都是3次組織根.
如果A不含特徵值1，那麼A-E可逆，由0=A^3-E=（A-E）（A^2+A+E）得A^2+A+E=0
如果A含有特徵值1，那麼結論不對.
補充：你先看清楚正負號，如果是A+E，那麼必然可逆，看特徵值即可.

線代題，快來幫忙啊1.若矩陣A與B相似，則（）
線代題，快來幫忙啊
1.若矩陣A與B相似，則（）a.|A|=|B|
b.A與B都相似於一個對角陣
c.對相同的特徵值，矩陣A與B有相同的特徵向量
2.已知三階矩陣A的特徵值是0，-1，+1，下列結論不正確的是（）
A.矩陣A是不可逆的B.矩陣A的主對角元素之和為0.
C.1和-1所對應的特徵向量是正交的
D.AX=0的基礎解系由一個向量組成.
E.矩陣A-E是不可逆矩陣
F.矩陣A+E和對角矩陣相似
選什麼啊，高手最好是給說說理由啊，謝謝

1.A
相似矩陣的相同的特徵值/行列式/迹
2.C
屬於不同特徵值的特徵向量是線性無關的，不一定正交.
實對稱矩陣的才正交

怎樣求矩陣特徵值
思路是怎樣的？