設A，B為n階矩陣，且A為對稱矩陣，證明：BTAB也是對稱矩陣.

設A，B為n階矩陣，且A為對稱矩陣，證明：BTAB也是對稱矩陣.

由已知AT=A
故（BTAB）T=BTATB=BTAB
故它是對稱矩陣

為什麼證明正定矩陣要先證明對稱
既然正定矩陣A=P乘P的轉制，它當然是對稱陣啊

如果你證明了A=PP^T且P可逆，那麼A當然是對稱且正定的
但是如果你證明了對任何非零實向量x，都有x^TAx>0，那麼A是正定的（這是一般非對稱正定陣的定義），但未必對稱，比如
A=
1 1
-1 1
就是一個非對稱的正定陣
你所學的理論體系裏可能沒有定義過非對稱的正定陣，但至少來說僅用x^TAx>0不足以推出對稱性，所以如果你想證明某個矩陣是對稱正定的本質上講就得對這兩條性質分別驗證

如何構造對稱正定矩陣
如何構造一個規模很大的對稱正定矩陣，比如1000*1000的，用於測試用！
我學過線代，但上面沒說怎麼構造啊？而且我要的是幾千階的矩陣啊！

如果對角陣過於特殊，
可取一個行列式不為0的矩陣A，
則它的轉置與它本身乘積即為正定（相合於組織陣）.
該可逆陣的取法可以隨機生成（多數可逆）
或者參攷任何一本線代書例題中中求得行列式通式的特殊矩陣如三對角/範德蒙等等.

A.B是n階方陣，且都是非零矩陣，使AB=0，則其充要條件是什麼？

AB=0
|AB|=0
|A|*|B|=0
|A|=0或|B|=0

任一實對稱陣必契约於一個對角矩陣，任一實對稱陣都可以相似對角化為對角矩陣，這兩個矩陣是同一個嗎？

一般來講肯定是不對的，樓上提到的次序問題僅僅是一個小問題.
契约對角化之後的對角陣有很大的變動餘地，但是相似對角化得到的對角陣在相差一個排列的意義下唯一，比如非零對角陣A和2A一定契约，但是特徵值就不一樣了，肯定不相似.或者這樣講，實對稱矩陣相似則必定契约，但是反過來不對.
既然你問到這樣的問題了，你還應該要知道一個重要的結論——譜分解定理：任何實對稱矩陣都正交相似於對角陣.
正交相似變換既是相似變換也是契约變換，所以譜分解定理可以把相似和契约聯系起來.

請問只有對稱陣才有契约矩陣嗎？
如果不是請舉一個例子！

不是啊，應該是與對稱矩陣契约的矩陣是對稱矩陣，並不是說只有對稱矩陣才有能够契约，你隨便弄一個矩陣A，然後找一個可逆的矩陣C，則c的轉置*A*C，就是個與A契约的矩陣，而A不一定是對稱矩陣，試試吧，以後注意概念哦，

為什麼對稱矩陣的契约矩陣一定還是對稱陣？

契约變換的實質是對實對稱矩陣A做相似變換QTAQ（QT是Q的轉置也等於Q的逆）得到一個對角陣，而你看對角陣的特點，顯然所有對角陣轉置之後和原來的對角陣一樣，顯然對稱，所以對稱矩陣的契约矩陣一定還是對稱陣？

簡化階梯形矩陣的具體概念
| 0 0 0 4 |
| 1 2 0 4 |
| 0 1 1 0 |這樣是不是簡化的
| 0 0 2 1 |
| 0 0 0 0 |
簡化階梯形矩陣的概念是矩陣是
階梯矩陣，且，非零元的首行非零元都是一，所有首行非零元的所在列的其他元素都是零
非零元的首行非零元都是一這句的意思是不是：只要是非零行他的第一個元素都是1
所有首行非零元的所在列的其他元素都是零這句的意思是不是：非零行的第一個元素的下方都是0
還是1上面的元素也要都是0

不是.
是.非零行左起第一個非零元素為1
上述1所在列的其餘元素全為0

加强的行簡化階梯形矩陣
1 1 -1 1 0
0 0 1 1 1
2 2 -1 0 1
0 0 2 -4 2
-1 -1 2 -3 1
元首為1

一般做法是：1：只做行變換，理由是為了後面解方程可以直接寫出等價方程.2：固定某一行，一般為第一行，而且要求第一行的第一個元素最好為1，如果這點要給出的行列式中不滿足，可以通過換行和乘以適當的數來做到3：固定好…

如何證明兩個n階上三角形矩陣的乘積仍為上三角形矩陣

證明：設A=（aij），B=（bij）是上三角n階方陣則當i>j時aij=bij=0.記C = AB =（cij）則當i>j時cij = ai1b1j+…+aii-1bi-1j + ai，ibi，j +…+ ainbnj（注意：前半部分aij=0，後半部分bij=0）=0所以C=AB也是…