一階線性微分方程通解怎麼求

一階線性微分方程通解怎麼求

如圖，首先記住公式，其次是套用公式.

已知二階非齊次線性微分方程的兩個特解，應該如何求通解？

若求得：y“- p（x）*y' - q（x）*y = 0的兩個線性無關的特u（x），v（x），則非齊次方程：y”- p（x）*y' - q（x）*y = f（x）的通解公式為：y = C1 * u（x）+ C2 * v（x）+∫[ u（s）*v（x）- u（x）*v（s）] / [ u（s）*v '（x）- v（s）…

二階微分方程y''=1+（y'）^2的通解
用pdp/dy=y''，p=y'此方法
只用這種方法！
我用這種方法做到
p^2=e^（2y+2c）-1然後就做不來了

既然知道這麼做會很麻煩，為啥還要這麼做呢
往下的話，可以寫成
p^2=（y'）^2=C1e^（2y）-1
所以y'=√（C1e^（2y）-1）
所以dy/√（C1e^（2y）-1）=dx
然後令u=√（C1e^（2y）-1）
所以y=（1/2）ln（1+u^2）-C'
dy=udu/（1+u^2）
所以
∫dy/√（C1e^（2y）-1）=∫du/（1+u^2）=arctanu=arctan√（C1e^（2y）-1）
所以dy/√（C1e^（2y）-1）=dx的兩邊積分得到
arctan√（C1e^（2y）-1）=x+C2