已知向量a=（cos3/2x，sin3/2x），b=（cosx/2，-sinx/2），且x∈[-π/3，π/4] ①求a·b及│a+b│ ②若f（x）=a·b -│a+b│，求f（x）的最大值和最小值

已知向量a=（cos3/2x，sin3/2x），b=（cosx/2，-sinx/2），且x∈[-π/3，π/4] ①求a·b及│a+b│ ②若f（x）=a·b -│a+b│，求f（x）的最大值和最小值

①a·b=cos（3/2x）*cos（x/2）-sin（3/2x）*sin（x/2）=cos（3/2x+x/2）；
a+b=（cos3/2x+cosx/2，sin3/2x-sinx/2）；使用和差化積公式得
a+b=（2cos（3/4x+x/4）*cos（3/4x-x/4），2cos（3/4x+x/4）*sin（3/4x-x/4））
|a+b|=2|cos（3/4x+x/4）|（cos²θ+sin²θ=1）
②f（x）=a·b-|a+b|=cos（3/2x+x/2）-2|cos（3/4x+x/4）|
設3/4x+x/4=t，則f（x）=cos2t-2|cost|=2cos²t-1-2|cost|=2|cost|²-2|cost|-1
其中t=3/4x+x/4是對勾函數，x>0時t≥2√[（3/4x）*（x/4）]=√3/2，則值域為t∈（-∞，-√3/2]∪[√3/2，+∞）
顯然t的值域包含完整週期，使cost可以取到[-1,1]上的任意值，則|cost|∈[0,1]
則f（x）=2|cost|²-2|cost|-1=2（|cost|-1/2）²-3/2，
|cost|=0或1時有最大值-1；|cost|=1/2時有最小值3/2

已知向量a=（sinα,cosα）,b=（cosx，sinx），c=（sinx+2sinα,cosx+2cosα） 1.若α=π/4，求函數f（x）=b·c的最小值及相應的x值 2.若a與b的夾角為π/3，且a⊥c，求tan2α的值 很抱歉。a=（cosα，sinα）

（1）∵α=π/4，∴c=（√2+sinx，√2+cosx）f（x）=b·c=cosx（√2+sinx）+sinx（cosx+√2）=√2cosx+cosx*sinx*2+√2sinx=-1+（sinx+cosx）²+√2（sinx+cosx）令sinx+cosx=t=√2sin（x+π/4）屬於【-√2，+√2】…

已知向量a=（cos3/2x，sin3/2x），向量b=（cosx/2，-sinx/2），且x∈[0，π/2]求 ①向量a*向量b及丨向量a+向量b丨 ②若f（x）=向量a*向量b-2入丨向量a+向量b丨的最小值是-3/2，求實數入的值

向量a*向量b=cos3/2x*cosx/2+sin3/2x*（-sinx/2）=cos（3/2x+x/2）=cos2x
向量a+向量b=（cos3/2x，sin3/2x）+（cosx/2，-sinx/2）=（cos3/2x+cosx/2，sin3/2x-sinx/2）
所以丨向量a+向量b丨^2=（cos3/2x+cosx/2）^2+（sin3/2x-sinx/2）^2
=2+2cos3/2x*cosx/2-2sin3/2x*sinx/2
=2+2cos（3/2x+x/2）= 2+2cos2x=4（cosx）^2
所以丨向量a+向量b丨=2cosx
f（x）=cos2x-2入*2cosx=2（cosx）^2-1-4入cosx=2（cosx-入）^2-2入^2-1，
當cosx=入時，有最小值-2入^2-1.
所以-2入^2-1=-3/2
解得入=±根號5/2

sin（x+y）cosx+cos（x+y）sinx=1/3 x∈（3π/2,2π）求cos（2x+π/4）

x∈（3π/2,2π）所以2x∈（3π，4π）原式=SIN（2X+Y）=1/3即2X+Y在3/派下，或在2派/3下方且在X軸上方
原式=SIN（2X+Y）=1/3則COS（2X+Y）=
cos（2x+π/4）=（1/根號2）*COS2X+（1/根號2）*SIN2X

（1-cosx）sinx怎麼化為cos（1-cosx）＋sin^2x 有一個地方是cosx（1-cosx），抄錯了

cosx（1-cosx）+sin²x
=cosx（1-cosx）+1-cos²x
=cosx（1-cosx）+（1+cosx）（1-cosx）
=（1-cosx）（1+2cosx）
如果1+2cosx=sinx
那麼（1-cosx）sinx=cosx（1-cosx）＋sin^2x

已知sinx+siny=1/3，cosx-cosy=1/5，求cos（x+y），sin（x-y）. 求過程！

sinx+siny=1/3，cosx-cosy=1/5
兩式分別平方得
sin²x+sin²y+2sinxsiny=1/9
cos²x+cos²y-2cosxcosy=1/25
相加得
1+1+2sinxsiny-2cosxcosy=1/9+1/25=34/225
2cosxcosy-2sinxsiny=2-34/225
cosxcosy-sinxsiny=1-17/225=208/225
∴cos（x+y）=208/225