A為三階實對稱矩陣,A^2+2A=0,r(A)=2,求A的全部特徵值及行列式|A^2+3E|的值. 為什麼r(A)=2,可得-2為二重根?

A為三階實對稱矩陣,A^2+2A=0,r(A)=2,求A的全部特徵值及行列式|A^2+3E|的值. 為什麼r(A)=2,可得-2為二重根?

這是因為“可對角化的矩陣的秩等於其非零特徵值的個數”
A是實對稱矩陣,A(A+2E)=0,故A的特徵值只能是0,-2
由r(A)=2知A的特徵值為0,-2,-2.
所以A^2+3E的特徵值為(λ^2+3):3,7,7
所以|A^2+3E| = 3*7*7 = 147.