![](data:image/svg+xml;utf8,<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" viewBox="0 0 72 71" width="72"></svg>)
設A，B分別是m*n，n*m矩陣，證明：AB和BA有相同的非零特徵值.
如果a是AB的非零特徵值，則存在非零向量x，使得ABx=ax **.
而Bx不等於零，否則若Bx=0有ax=0，與a非零和x非零衝突.
記：Bx=y.
由**左乘B，可知BAy=ay.因y為非零向量，所以a也是BA的特徵值.
同理，BA的非零特徵值也是AB的特徵值.
即得證結論.
RELATED INFORMATIONS
- 1. 設四階矩陣A的元素全為1，則A的非零特徵值為
- 2. A是n階非零矩陣，已知A^2+A=0能否推出-1是A的一個特徵值？ 能. A^2+A=0 所以f（x）=x^2+x是矩陣A的一個“化零多項式”， A的特徵值只能是化零多項式f（x）的根，即0或-1， 又因為A是非零陣，所以特徵值不可能時全零， 囙此必有特徵值-1 A是非零陣，所以特徵值不可能時全零？比如A=【0 0 1；0 0 0；0 0 0】
- 3. 證明如果A是s*n階矩陣，則AtA特徵值均為非負實數
- 4. 設A為n階矩陣，且滿足AAT=E，A的行列式小於零，證明-1是A的一個特徵值
- 5. 設A為2階矩陣，α1，α2是兩個線性無關的二維向量，Aα1=O，Aα2=2α1+α2，求A的非零特徵值.
- 6. 一個3階矩陣只有2個線性無關的特徵向量，而這個矩陣只有一個3重根的特徵值，求矩陣的秩
- 7. 若3維列向量α，β滿足αTβ=2，則矩陣βαT的非零特徵值為？ 雖然AB和BA的特徵多項式和特徵值相同，為什麼非零特徵值就等於2呢？ to陰陽雙鋒劍： βαTβ=β（αTβ）=2β還是不懂
- 8. 設A為2階方陣，a，β為線性無關的2維列向量，Aa=0，Aβ=a+β，則A的非零特徵值
- 9. 若3維列向量α，β滿足α'β=2，則矩陣βα'的非零特徵值怎麼求？
- 10. 設A為n階矩陣，|A|≠0，A*為A的伴隨矩陣，E為n階單位矩陣.若A有特徵值λ，則（A*）2+E必有特徵值______.
- 11. A為三階實對稱矩陣，A^2+2A=0，r（A）=2，求A的全部特徵值及行列式|A^2+3E|的值. 為什麼r（A）=2，可得-2為二重根？
- 12. 已知3階矩陣A的特徵值為2,1，-1求A+3E的特徵值和計算行列式|A+3E|
- 13. A，B為n階方陣，A的行列式不為零，證明AB與BA相似 線性代數問題
- 14. 設A，B均為n階可逆方陣，怎麼證明AB的行列式與BA的行列式相等？
- 15. 設A，B都是n階方陣，且|A|不等於0，證明AB與BA相似.
- 16. cos0°，tan0°，sin0°的值
- 17. 假設向量a+根號3向量b與4向量a-3根號3向量b垂直，2向量a+根號3向量b與向量a-根號3向量b垂直， 且向量a，向量b都不等於0，求向量a與向量b的夾角
- 18. 證明題：已知：如圖，四邊形ABCD中，AB‖CD，AB=CD.求證：AD=CB.
- 19. 能證明命題“x是實數，則（x-3）2＞0”是假命題的反例是（） A. x=4B. x=3C. x=2D. x=15
- 20. 若x，y均為實數，且a=x平方-2y+1，b=y平方-2x+2，用反證法證明：a，b中至少有一個大於0