設函數f（x）=（2x+1）ln（2x+1）.（1）求f（x）的極小值；（2）若x≥0時，都有f（x）≥2ax成立，求實數a的取值範圍.

設函數f（x）=（2x+1）ln（2x+1）.（1）求f（x）的極小值；（2）若x≥0時，都有f（x）≥2ax成立，求實數a的取值範圍.

（1）∵f′（x）=2ln（2x+1）+2，f′（x）=0，∴x=12（1e−1）當x∈（12（1e−1）， ；+∞），f′（x）＞0當x∈（−12，（12（1e−1）），f′（x）＜0∴函數的極小值是f（12（1e−1）+=-1e（2）x≥0時，都有f（x）≥2ax成立，令g（x）=（2x+1）ln（2x+1）-2axg′（x）=2[ln（2x+1）+1-a]=0，x=12ea−1−1當a≤1，a-1≤0，12ea−1−1≤0g′（x）≥0恒成立，∴g（x）在[0，+∞）上單增，∴g（x）≥g（0）=0成立，對於x≥0時，都有f（x）≥2ax成立，當a＞1時，a-1＞0，12（ea−1−1）＞0當x∈[0，12（ea−1−1）），g′（x）＜0恒成立，又g（0）=0，∴當x∈[0，12（ea−1−1））時，g（x）≤g（0）=0成立，即當a＞1時，不是所有的x≥0都有f（x）≥2ax，綜上可知a≤1.

Elden Ring Premiere

RELATED INFORMATIONS