例4.設x，y∈R，求證：|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy≥0.

例4.設x，y∈R，求證：|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy≥0.

證明：充分性：如果xy=0，那麼，①x=0，y≠0②x≠0，y=0③x=0，y=0於是|x+y|=|x|+|y|明顯成立.如果xy＞0即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0當x＞0，y＞0時，|x+y|=x+y=|x|+|y|，當x＜0，y＜0時，|x+y|=-x-y=（-x）+（-y）=|x| +|y|，總之，當xy≥0時，|x+y|=|x|+|y|.必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x，y∈R得（x+y）2=（|x|+|y|）2即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2得|xy|=xy所以xy≥0故必要性成立，綜上，原命題成立.故結論成立.

設x，yR，求證：|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy>=0

解法一：/x+y/=/x/+/y/（x+y）^2=x^2+2*/xy/+y^2 2xy=2*/xy/ xy=/xy/ xy>=0由上述可知|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy>=0解法二：證明：1.充分性：/x+y/=/x/+/y/兩邊同時平方得：（x+y）^2＝x^2+y^2+2*/xy/可以化為…