曲線C的方程是│x│+│y-1│=2，求曲線C所圍成的區域的面積是多少

曲線C的方程是│x│+│y-1│=2，求曲線C所圍成的區域的面積是多少

（1）.x>=0，y>=1時，曲線為x+y-1=2，x+y=3.
就是直線x+y=3上，點（0,3）和（2,1）之間的一段線段.
（2）.x>=0，y

方程|xy|+1=|x|+|y|表示的曲線圍成的區域的面積是

首先將原式兩面平方後，得x^2*y^2+1=x^2+y^2第一次按x^2整理得x^2*（y^2-1）=y^2-1 x^2=1第二次按y^2整理得y^2*（x^2-1）=x^2-1 y^2=1所以圍成的面積為變長為2，…

X的立方-X的平方Y-XY的平方

x³；-x²；y-xy²；
=x（x²；-xy-y²；）

格林公式的疑問
最近學到了第二類曲線積分和格林公式，大惑不解，格林公式中的偏導數另外，對座標積分，對x積分，是不是相當於對X在水准方向的分量積分？
不好意思，可能是我表述有誤，我的意思是，格林公式中的偏導數起什麼作用，是什麼意義？以及對X的偏導减去對Y的偏導，在這裡是什麼意義？
我說的（對座標X積分）是不是相當於對函數在水准方向的分量進行積分？

我覺得你最好還是看下格林公式的推倒過程…其實教材中的推倒過程用的是拼凑法用偏導是為了分別對X和Y積分時得到的就是原函數…才會滿足等式兩邊相等，這個等試就是格林公式，對對兩個的積分就是分別的分量積分，通過他的物理意義就很好理解了變力做功就是分力做功的和，從而格林公式也是

對“格林公式”概念的疑問
格林公式裏有P（x，y）和Q（x，y）兩個函數，還有Q對x的偏導與P對y的偏導之差又代表了什麼？（我是自學高數的，

個人理解就是他們就代表了兩個不一樣的函數~偏導之差只是利用的公式沒特別的意義

設笛卡爾葉形線的方程為x^3+y^3=3axy（a>0）求其所圍成圖形的面積

笛卡爾葉形線的參數方程為
x=3at/（1+t^3），y=3at^2/（1+t^3）（t=tanθ）
它所圍成圖形的面積在第一象限，即0

笛卡爾的心形線公式

極座標運算式：
水准方向：r=a（1-cosθ）或r=a（1+cosθ）（a>0）
或垂直方向：r=a（1-sinθ）或r=a（1+sinθ）（a>0）
平面直角座標運算式分別為：
x^2+y^2+a*x=a*sqrt（x^2+y^2）和
x^2+y^2-a*x=a*sqrt（x^2+y^2

為什麼對一個第二類曲線積分，如果用格林公式做是等於0而直接用參數解曲線積分卻得2π（派）例如
（xdy-ydx）/（x的平方+y平方）在（以r為半徑，原點為圓心）上L的第二類曲線積分.如果用格林公式轉化為二重積分，那麼結果就是0了！

格林公式是用來計算什麼的？

一元微積分學中最基本的公式—牛頓，萊布尼茲公式表明：函數在區間上的定積分可通過原函數在這個區間的兩個端點處的值來表示.
無獨有偶，在平面區域上的二重積分也可以通過沿區域的邊界曲線上的曲線積分來表示，這便是我們要介紹的格林公式.
1，單連通區域的概念
設D為平面區域，如果D內任一閉曲線所圍的部分區域都屬於D，則D稱為平面單連通區域；否則稱為複連通區域.通俗地講，單連通區域是不含“洞”（包括“點洞”）與“裂縫”的區域.
2，區域的邊界曲線的正向規定
設是平面區域的邊界曲線，規定的正向為：當觀察者沿的這個方向行走時，內位於他附近的那一部分總在他的左邊.簡言之：區域的邊界曲線之正向應適合條件，人沿曲線走，區域在左手.
3，格林公式
【定理】設閉區域由分段光滑的曲線圍成，函數及在上具有一階連續偏導數，則有（1）∮cP（x，y）dx+Q（x，y）dy=∫∫D（dQ/dx-dP/dy）dxdy其中是的取正向的邊界曲線.公式（1）叫做格林（green）公式.【證明】先證假定區域的形狀如下（用平行於軸的直線穿過區域，與區域邊界曲線的交點至多兩點）易見，圖二所表示的區域是圖一所表示的區域的一種特殊情况，我們僅對圖一所表示的區域給予證明即可.另一方面，據對座標的曲線積分性質與計算法有囙此再假定穿過區域內部且平行於軸的直線與的的邊界曲線的交點至多是兩點，用類似的方法可證綜合有當區域的邊界曲線與穿過內部且平行於坐標軸（軸或軸）的任何直線的交點至多是兩點時，我們有格林公式
，同時成立.將兩式合併之後即得格林公式注：若區域不滿足以上條件，即穿過區域內部且平行於坐標軸的直線與邊界曲線的交點超過兩點時，可在區域內引進一條或幾條輔助曲線把它分劃成幾個部分區域，使得每個部分區域適合上述條件，仍可證明格林公式成立.格林公式溝通了二重積分與對座標的曲線積分之間的聯系，囙此其應用十分地廣泛.
編輯本段二，平面曲線積分與路徑無關的條件
1，對座標的曲線積分與路徑無關的定義
【定義一】設是一個開區域，函數，在內具有一階連續偏導數，如果對於內任意兩點，以及內從點到點的任意兩條曲線，等式恒成立，就稱曲線積分在內與路徑無關；否則，稱與路徑有關.定義一還可換成下列等價的說法若曲線積分與路徑無關，那麼即：在區域內由所構成的閉合曲線上曲線積分為零.反過來，如果在區域內沿任意閉曲線的曲線積分為零，也可方便地匯出在內的曲線積分與路徑無關.【定義二】曲線積分在內與路徑無關是指，對於內任意一條閉曲線，恒有.
2，曲線積分與路徑無關的條件
【定理】設開區域是一個單連通域，函數，在內具有一階連續偏導數，則在內曲線積分與路徑無關的充分必要條件是等式在內恒成立.證明：先證充分性在內任取一條閉曲線，因單連通，故閉曲線所圍成的區域全部在內.從而在上恒成立.由格林公式，有依定義二，在內曲線積分與路徑無關.再證必要性（採用反證法）假設在內等式不恒成立，那麼內至少存在一點，使不妨設由於在內連續，在記憶體在一個以為圓心，半徑充分小的圓域，使得在上恒有由格林公式及二重積分性質有這裡是的正向邊界曲線，是的面積.這與內任意閉曲線上的曲線積分為零的條件相衝突.故在內等式應恒成立.注明：定理所需要的兩個條件缺一不可.【反例】討論，其中是包圍原點的一條分段光滑曲線且正向是逆時針的.這裡，除去原點外，在所圍成的區域內存在，連續，且.在內，作一半徑充分小的圓周在由與所圍成的複連通域內使用格林公式有
編輯本段三，二元函數的全微分求積
若曲線積分在開區域內與路徑無關，那它僅與曲線的起點與終點的座標有關.假設曲線的起點為，終點為，可用記號或來表示，而不需要明確地寫出積分路徑.顯然，這一積分形式與定積分非常相似，事實上，我們有下列重要定理【定理一】設是一個單連通的開區域，函數，在內具有一階連續偏導數，且，則格林公式
是的單值函數，這裡為內一固定點，且亦即【證明】依條件知，對內任意一條以點為起點，點為終點的曲線，曲線積分與路徑無關，僅與的起點和終點的座標有關，亦即，確為點的單值函數.下麵證明由於可以認為是從點沿內任何路徑到點的曲線積分，取如下路徑，有類似地可證明囙此【定理二】設是單連通的開區域，在上具有一階連續偏導數，則在內為某一函數全微分的充要條件是在內恒成立.【證明】顯然，充分性就是定理一下面證明必要性若存在使得，則由於，在內連續，則二階混合偏導數適合等式從而【定理三】設是一個單連通的開區域，函數，在內具有一階連續偏導數，若存在二元函數使得則其中，是內的任意兩點.【證明】由定理1知，函數適合於是或囙此（是某一常數）即而這是因為由點沿任意內的路徑回到點構成一條封閉曲線，故囙此□【確定的全微分函數的方法】因為，而右端的曲線積分與路徑無關，為了計算簡便，可取平行於坐標軸的直線段所連成的折線作為積分路徑（當然折線應完全屬於單連通區域）. -------------------------------------------------------【證明】先證假定區域的形狀如下（用平行於軸的直線穿過區域，與區域邊界曲線的交點至多兩點）易見，圖二所表示的區域是圖一所表示的區域的一種特殊情况，我們僅對圖一所表示的區域給予證明即可.另一方面，據對座標的曲線積分性質與計算法有囙此再假定穿過區域內部且平行於軸的直線與的的邊界曲線的交點至多是兩點，用類似的方法可證綜合有當區域的邊界曲線與穿過內部且平行於坐標軸（軸或軸）的任何直線的交點至多是兩點時，我們有，同時成立.將兩式合併之後即得格林公式注：若區域不滿足以上條件，即穿過區域內部且平行於坐標軸的直線與邊界曲線的交點超過兩點時，可在區域內引進一條或幾條輔助曲線把它分劃成幾個部分區域，使得每個部分區域適合上述條件，仍可證明格林公式成立.

關於格林公式的使用條件
定義上是說它的積分曲線是沿著D的正向的，且D是單連通區域，有些題D包含原點使得偏導無意義，D挖去原點後D1就可以應用格林公式，何時這是D1不是單連通區域怎麼能應用？

單連通區域就是如果D內任一閉曲線所圍的部分都屬於