已知函數f（x）=（lnx＋a）/x（a∈R）（1）求函數f（x）的單調區間（2）當f（x）≤1恒 已知函數f（x）=（lnx＋a）/x（a∈R） （1）求函數f（x）的單調區間（2）當f（x）≤1恒成立，求實數a的取值範圍.

已知函數f（x）=（lnx＋a）/x（a∈R）（1）求函數f（x）的單調區間（2）當f（x）≤1恒 已知函數f（x）=（lnx＋a）/x（a∈R） （1）求函數f（x）的單調區間（2）當f（x）≤1恒成立，求實數a的取值範圍.

1.（0，e的1-a次方）單調遞增
[e的1-a次方，正無窮）單調遞減
2.即lnx+a≤x恒成立
即a≤x-lnx恒成立
設g（x）=x-lnx
g的導函數g'（x）=1-1/x
當00，g（x）為增函數
故當x=1時，g（x）有最小值1
故a≤1
即a的取值範圍為（負無窮，1]

函數fx=lnx-kx在0,1內有極值，求實數k的取值範圍.

f'x=1/x-k
fx在0,1內有極值，就是f'x=0在0,1內有解所以1/x-k=0在0,1內有解
k=1/x
因為1/x>1
所以k>1

ln2-x＞ln（2-x）

由題意知x小於2.
當x=0時，兩邊相等，
設c=ln2-x，u=ln（2-x）
由導數知c，u是减函數
令c=0得x=ln2，u=0得1，ln2小於1畫圖知在x小於0的區間c在u上方，所以這個不等式的解為
x小於0

證明不等式1/ln2+1/ln3+1/ln4+……+1/ln（n+1）
更正：提問中的π/2應是n/2

考慮函數f（x）= 2x/（x+2）-ln（1+x）.
有f'（x）= 4/（x+2）²；-1/（1+x）= -x²；/（（x+2）²；（x+1））.
x > 0時，f'（x）< 0，故f（x）嚴格單調遞減.
有f（x）< f（0）= 0，即得2x/（x+2）< ln（1+x）.
於是對任意正整數k，成立1/ln（1+k）<（k+2）/（2k）= 1/2+1/k.
對k從1到n求和即得1/ln（2）+1/ln（3）+…+1/ln（n+1）< n/2+1+1/2+…+1/n.