設A為mxn實矩陣，AtA為正定矩陣，證明線性方程AX=0只有零解急 沒人會做嗎

設A為mxn實矩陣，AtA為正定矩陣，證明線性方程AX=0只有零解急 沒人會做嗎

設A為mxn實矩陣，A^tA是正定矩陣，
所以|A^tA|>0，從而（A^tA）的秩是n
從而方程（A^tA）X=0只有零解.
下麵只要證方程（A^tA）X=0與方程AX=0有相同的解即可.
1）設α設是方程AX=0的解，那麼Aα=0
從而（A^tA）α=A^t（Aα）=A^t*0=0，即α是方程（A^tA）X=0的解
2）設α設是方程（A^tA）X=0的解，則（A^tA）α=0
從而α^t（A^tA）α=（Aα）^t（Aα）=0
而Aα是mx1的矩陣，設Aα=（x1，x2，…，xm）^t
所以α^t（A^tA）α=（Aα）^t（Aα）=x1^2+x2^2+..+xm^2=0
由於x1，x2，…，xm是實數，所以x1=x2=…=xm=0
所以Aα=0
所以α是方程AX=0的解，
囙此方程（A^tA）X=0與方程AX=0有相同的解，從而Ax=0只有零解.

A、B均為n階實對稱矩陣，其中A正定，證明：當實數t取的充分大以後tA+B亦正定.

只要證t充分大後tA+B的每一個主子式都>0.tA+B的每一個主子式都可以看作關於t的多項式，其最高次項係數為A的相應主子式.A正定，故A的每個主子式>0，所以多項式最高此項係數為正，t充分大後恒>0.

設A為實對稱矩陣，t為實數，證明：當t充分大時，矩陣tE+A為正定矩陣

設a1，…，an是A的特徵值
則t+a1，…，t+an是tE+A的特徵值
又A為實對稱矩陣
所以當t+a1，…，t+an都大於0時tE+A是正定矩陣
所以當t充分大時，矩陣tE+A為正定矩陣

設A是實對稱矩陣，證明只要實數t足够大，tE+A一定是正定矩陣

因為A實對稱，存在正交矩陣P，使得P'AP為對角陣，記為C，其中P'P=E.所以P'（tE+A）P=tE+C，注意這裡tE+C是對角陣，只要t足够大，一定可以使對角線上元素均是正數.總結一下，存在可逆矩陣P，使得P'（tE+A）P為對角形，對角線上元素…

設四元線性方程組AX=b的係數矩陣A的秩r（A）=3，η1，η2，η3均為此方程組的解，且η1+η2=（2,0,4,6）T
且η1+η2=（2,0,4,6）T，η2+η3=（1，-2,1,2）T，則方程組AX=b的通解為？

AX=b為四元線性方程組，其係數矩陣A的秩r（A）=3
所以其解中所含的向量個數為4-3=1個，
η1+η2=（2,0,4,6）T，η2+η3=（1，-2,1,2）T
所以η1-η3=η1+η2 -（η2+η3）=（1,2,3,4）T
而A（η1-η3）=b-b=0，
故η1-η3=（1,2,3,4）T是齊次方程Ax=0的解向量，
又A（η1+η2）=Aη1+Aη2=2b，
故（η1+η2）/2是Ax=b的特解，
即（η1+η2）/2=（1,0,2,3）T為Ax=b的特解，
所以方程組AX=b的通解為：
x=（1,0,2,3）T + k（1,2,3,4）T其中k為常數

兩個同解的方程組的係數矩陣的秩一樣
那麼，反過來說，如果兩個列數相同的矩陣秩相同，由這兩個矩陣構成的方程組一定同解嗎
我認為秩相同是方程組同解的必要不充分條件

對的.
兩個方程組同解
當且僅當它們的增廣矩陣的行向量組等價，
秩相同，並不能說明兩個向量組是等價的

η1，η2是非齊次線性方程組AX=b的解求AX=0的解

∵η1，η2是非齊次線性方程組AX=b的解
∴Aη1=b Aη2=b
∴Aη1-Aη2=b-b=0
A（η1-η2）=0
∴X=η1-η2

A為六階方陣.A*是A的伴隨矩陣.若r（A）=3，則齊次線性方程組A*X=0的基礎解系中含有解向量的個數.

根據定理可知齊次線性方程組A*X=0的基礎解系中含有解向量的個數是n-r（A*），因為r（A）=3，即A中非零子式的最高階數為3.而A*是矩陣A元素的代數餘子式組成的Aij=-Mij，Mij是A的5階子式，因為非零子式的最高階數為3，所以所有…

設A是n階方陣，|A|=0，且A中有一個元素的代數餘子式不為零，則其次線性方程組AX=0解的基礎解系所含向量的個
設A是n階方陣，|A|=0，且A中有一個元素的代數餘子式不為零，則其次線性方程組AX=0解的基礎解系所含向量的個數是（）
A 1 B n C n-1 D 2

A
因為|A|=0，且A中有一個元素的代數餘子式不為零，則A的秩為n-1，則AX=0的解空間是1維的

5.設A為5階方陣，若秩（A）=3，則齊次線性方程組Ax=0的基礎解系中包含的解向量的個數是__________

個數是5-3=2個