已知函數f（x）=x^3，則lim△→0時，（x+△x）^3-x^3/△x 求lim△→0時，（x+△x）^3-x^3/△x等於多少？

已知函數f（x）=x^3，則lim△→0時，（x+△x）^3-x^3/△x 求lim△→0時，（x+△x）^3-x^3/△x等於多少？

導數的定義
原式=（x+△x）^3-x^3/△x=（3x^2△x+3x△x^2+△x^3）/△x
=3x^2+3x△x+△x^2
當△→0時後兩項為0
所以為3x^2

lim（cosx-cos3x）/（5x）x趨於0

法一：和差化積cosα-cosβ= - 2sin[（α+β）/2]·sin[（α-β）/2] lim（x→0）（cosx-cos3x）/5x=lim（x→0）2sin2xsinx/5xx→0時sinx可替換為x，原式=lim（x→0）4x/5=0法二：利用洛必達法則，對分子分母分別求導lim…

lim（（x→0）（sinx/x）^1/（1-cosx）

題目應該是x→0＋
用自然對數法
lim（（x→0＋）ln（sinx/x）^1/（1-cosx）
=lim（（x→0＋）ln（sinx/x）/（1-cosx）（等價無窮小代換）
=lim（（x→0＋）2[ lnsinx-lnx]/x^2（洛必達法則）
=lim（（x→0＋）[ cosx/sinx-1/x]/x（通分）
=lim（（x→0＋）[ xcosx-sinx]/（x^2sinx）（等價無窮小代換）
=lim（（x→0＋）[ xcosx-sinx]/x^3（洛必達法則）
=lim（（x→0＋）[ cosx-xsinx-cosx]/（3x^2）
=lim（（x→0＋）[ -xsinx]/（3x^2）（等價無窮小代換）
=-1/3
所以
lim（（x→0＋）（sinx/x）^1/（1-cosx）
＝lim（（x→0＋）e^[ln（sinx/x）^1/（1-cosx）]
=e^（-1/3）

lim（x->0）（cosx^2）^1/sinx^2
當x趨近0時求極限？

原式=exp{lim（x->0）ln（cosx^2）/sinx^2}=exp{lim（x->0）ln[1+（cosx^2-1）]/sinx^2}=exp{lim（x->0）（cosx^2-1）/x^2}=exp{lim（x->0）-（x^4/2）/x^2}=exp（0）=1
這裡用了等價無窮小ln（1+x）~x，1-cosx~x^2/2（x->0）
如果題中為cos^2x與sin^2x，則有更簡單的方法
原式=lim（x->0）（1-sin^2x）^{（-1/sin^2x）*（-1）}=e^{-1}=1/e