設f（x）=ln（x+1）+ax，（a∈R且a≠0）.（Ⅰ）討論函數f（x）的單調性；（Ⅱ）若a=1，證明：x∈[1，2]時，f（x）−3＜1x成立.

設f（x）=ln（x+1）+ax，（a∈R且a≠0）.（Ⅰ）討論函數f（x）的單調性；（Ⅱ）若a=1，證明：x∈[1，2]時，f（x）−3＜1x成立.

（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（-1，+∞），f′（x）＝1x+1+a當a＞0時，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函數；當a＜0時，由f′（x）＞0得−1＜x＜−1a；由f′（x）＜0得x＞−1a∴函數f（x）在（−1，−1a）上是增函數，在（−1a，+∞）上是减函數；（Ⅱ）a=1時，f（x）=ln（x+1）+x要證x∈[1，2]時，f（x）−3＜1x成立，即證明ln（x+1）+x-1x-3＜0在[1，2]上恒成立，令g（x）=ln（x+1）+x-1x-3，易得函數g（x）在x∈[1，2]時單調遞增∵g（1）=0，則g（x）≥0∴x∈[1，2]時，f（x）−3＜1x成立.

已知函數f（x）=ln（ax+1）+x^3-x^2-ax，3.若a=-1時，方程f（1-x）-（1-x）^3=b/x有實根，求
已知函數f（x）=ln（ax+1）+x^3-x^2-ax
1.若x=2/3為y=f（x）的極值點，求實數a的值
2.若y=f（x）在[1，+∞）為增函數，求實數a的取值範圍
3.若a=-1時，方程f（1-x）-（1-x）^3=b/x有實根，求實數b的取值範圍

3.即xlnx-x^3+x^2=b有實根令g（x）=xlnx-x^3+x^2則g'（x）=-3x^2+2x+1+lnx注意到g'（1）=0再有g''（x）=-6x+2+1/x=（-6x^2+2x+1）/x容易從g''（x）知g'（x）先增後减，並且它在（1，+∞）是减函數又知x趨向0時g'（x）趨向0故g'（x）=0的解…

ln（x+1/a）-ax=0有兩個异號根，求證：x1+x2>0

設f（x）=ln（x+1/a）-ax，（−；1/a0，函數在（−；1/a，+∞）上是增函數，此時f（x）=0最多只有一個零點，不滿足題意，故排除；②當a>0時，ax+1>0，令f'（x）=0，則x=0，當x∈（-1/a，0）時，f'（x）>0，f（x）單調遞增，當x∈（0，+∞）時，f'（…