已知m、n為正整數，m的平方=n的平方+45，求m、n的值

已知m、n為正整數，m的平方=n的平方+45，求m、n的值

m²；=n²；+45
m²；-n²；=45
（m+n）（m-n）=45
m+n=45，m-n=1或m+n=9，m-n=5或m+n=15，m-n=3
解得
m=23，n=22
或
m=7，n=2
或
m=9，n=6

已知m、n均為正整數，且mn│m²；+n²；+m.證明m是一個完全平方數.

mn│（m^2+n^2+m），即m|n^2
n|（m^2+m）--> n|m（m+1），因為m，m+1互質，所以需有：m=kn或m+1=kn
當m+1=kn時，m=kn-1，因為kn-1，n互質，所以不可能m|n^2，所以m+1不能為kn.
當m=kn時，由m|n^2得：k|n，即n=kr，囙此m=k^2r
mn=k^3r^2
m^2+n^2+m=k^2r（k^2r+r+1）
所以由mn|（m^2+n^2+1），得：kr|（k^2r+r+1），囙此r|1，所以r=1.
故有：m=k^2為完全平方數.

已知m、n均為正整數，且mn│m∧2+n∧2+m.證明m是一個完全平方數

mn│（m^2+n^2+m），即m|n^2
n|（m^2+m）--> n|m（m+1），因為m，m+1互質，所以需有：m=kn或m+1=kn
當m+1=kn時，m=kn-1，因為kn-1，n互質，所以不可能m|n^2，所以m+1不能為kn.
當m=kn時，由m|n^2得：k|n，即n=kr，囙此m=k^2r
mn=k^3r^2
m^2+n^2+m=k^2r（k^2r+r+1）
所以由mn|（m^2+n^2+1），得：kr|（k^2r+r+1），囙此r|1，所以r=1.
故有：m=k^2為完全平方數.