已知sin(2α+β)=3sinβ,求tan(α+β)/tanα的值

已知sin(2α+β)=3sinβ,求tan(α+β)/tanα的值

由sin(2α+β)=3sinβ,有sin[(α+β)+α]=3sin[（α+β）-α]用和差化積可得sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα整理得,4cos(α+β)sinα=2sin(α+β)cosαsin(α+β)cosα/cos(α+...

己知3sinβ=sin（2α+β），求證：tan（α+β）=2tanα．

證明：將條件化為：3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]，展開得：3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，即：2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα，由cos（α+β）cos...

已知sin（2a+b）=3sin（b） 求tan（a+b）/tan(a)的值

cos[(a＋b)＋a]=3sin[(a＋b)－a]
cos(a＋b)cosa－sin(a＋b)sina=3sin(a＋b)cosa－3cos(a＋b)sina
cos(a＋b)[cosa＋3sina]=sin(a＋b)[3cosa＋sina]
tan(a＋b)=sin(a＋b)/cos(a＋b)=[cosa＋3sina]/[sina＋3cosa]=[1＋3tana]/[3＋tana]
所以,tan(a＋b)/tana=[1＋3tana]/[tan²a＋3tana]=.
這個題目想解決什麼問題?

3sinB=sin(2a+B),tan(a+B)=4,求tana 同上

sin(α+β+α)=3sin(α+β-α)
sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα
4cos(α+β)sinα=2sin(α+β)cosα
即tanα=1/2tan(α+β)=2

三角形ABC中,3SinB=Sin（2A+B）,4tan(A/2)=1-tan²(A/2).求證：A+B=π/4

證明如下：
因為4tan(A/2)=1-tan²(A/2),根據二倍角正切公式可得
tanA=2tan(A/2)/[1-tan²(A/2)]=2tan(A/2)/4tan(A/2)=1/2
sinA/cosA=1/2
所以cosA=2sinA
3sinB=sin(2A+B)
3sinB=sin2AcosB+cos2AsinB
3sinB=2sinAcosAcosB+(cos²A-sin²A)sinB
3sinB=2sinA(2sinA)cosB+[(2sinA)²-sin²A]sinB
3sinB=4sin²AcosB+3sin²AsinB
4sin²AcosB=3sinB-3sin²AsinB
4sin²AcosB=3sinB(1-sin²A)
4sin²AcosB=3sinBcos²A
4sin²AcosB=3sinB(2sinA)²
4sin²AcosB=12sinBsin²A
cosB=3sinB
tanB=1/3
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(1/2+1/3)/[1-(1/2)*(1/3)]=1
因此A+B=π/4
²這是平方
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已知3sinB=sin（2A+B）,求證：tan（A+B）=2tan A.

3sinB=sin（2A+B）
3sinB=sinAcos(A+B)+cosAsin(A+B)
3sinB=sinA(cosAcosB-sinAsinB)+cosA(sinAcosB+cosAsinB)
3sinB=sinAcosAcosB-sinAsinAsinB+cosAsinAcosB+cosAcosAsinB
3sinB=2cosAsinAcosB+sinB(cosAcosA-sinAsinA)
3(sinAsinA+cosAcosA)sinB=2cosAsinAcosB+sinB(cosAcosA-sinAsinA)
4sinAsinAsinB+2cosAcosAsinB=2cosAsinAcosB
2sinAsinAsinB+cosAcosAsinB=cosAsinAcosB
2sinAsinAsinB+cosAcosAsinB=2cosAsinAcosB-cosAsinAcosB
2sinAcosAcosB-2sinAsinAsinB=cosAsinAcosB+cosAcosAsinB
2sinA(cosAcosB-sinAsinB)=cosA(sinAcosB+cosAsinB)
2sinAcos(A+B)=cosAsin(A+B)
tan（A+B）=2tan A

5sinB=sin(2A+B) 求證2tan(A+B)=3tanA

原式可以寫成：
5sin[(A + B) - A] = sin[(A + B) + A]
左邊 = 5sin(A + B)cosA - 5cos(A + B)sinA
右邊 = sin(A + B)cosA + cos(A + B)sinA ,移項得：
4sin(A + B)cosA = 6cos(A + B)sinA
兩邊除以 2cosAcos(A + B) 即得：
2tan(A+B)=3tanA

已知5sinB=sin（2A+B),求證2sin（A+B）=3tanA

證明：5sin[(A+B)-A]=sin[A+(A+B)]
5sin(A+B)cosA-5cos(A+B)sinA=sin(A+B)cosA+cos(A+B)sinA
4sin(A+B)cosA=6cos(A+B)sinA
2sin（A+B）=3tanA

已知3sinβ=sin(2a+β),設tana=x,tanβ=y,記y=f（x） （1）求f（x）的解析表示式 （2）若a角是一個三角形的最小內角,試求函式F（x）的值域

（1）將已知項展開,得3sinβ=sin2acosβ+cos2asinβ
將兩邊同除以cosβ,得3tanβ＝sin2a+cos2atanβ
移項合併,將非tanβ除向另一邊,得tanβ＝2sin2a/3－cos2a
利用萬能公式
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
易得tanβ＝2tana/2+4tan^2a
即為所求
（2）易知三角形內最小內角屬於(0,∏/3]區間內
tana屬於（0,根號3]
所以tanβ>0,且tanβ

已知tana＝1,sin(2a+β)＝3sinβ,則tan(a+β)＝

tana=1 sin2a=2tana/[1+(tana)^2]=2/(1+1)=1 cos2a=[1-(tana)^2]/[1+(tana)^2]=0 sin(2a+b)=sin2acosb+cos2asinb=3sinb sin2acosb=sinb(3-cos2a) tanb=sin2a/(3-cos2a) tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)=(1+tanb)/...