已知，在△ABC中，CA=CB，∠C=90°，D為AB上任意一點，AE⊥CD，垂足為E，BF⊥CD，垂足為F，求證：EF=|AE-BF|．

已知，在△ABC中，CA=CB，∠C=90°，D為AB上任意一點，AE⊥CD，垂足為E，BF⊥CD，垂足為F，求證：EF=|AE-BF|．

證明：∵AE⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE+∠CAE=90°，（直角三角形兩個銳角互餘）
∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠CAE=∠BCF，（等角的餘角相等）
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴∠AEC=∠BFC=90°，
在△ACE與△CBF中，

∠AEC＝∠BFC
∠CAE＝∠BCF
AC＝BC
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴AE=CF，CE=BF，
∴EF=CE-CF=BF-AE，
當AE＞BF時，如圖，


同法可求EF=AE-BF，
即EF=|AE-BF|．

已知，在△ABC中，CA=CB，∠C=90°，D為AB上任意一點，AE⊥CD，垂足為E，BF⊥CD，垂足為F，求證：EF=|AE-BF|．

證明：∵AE⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE+∠CAE=90°，（直角三角形兩個銳角互餘）
∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠CAE=∠BCF，（等角的餘角相等）
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴∠AEC=∠BFC=90°，
在△ACE與△CBF中，

∠AEC＝∠BFC
∠CAE＝∠BCF
AC＝BC
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴AE=CF，CE=BF，
∴EF=CE-CF=BF-AE，
當AE＞BF時，如圖，


同法可求EF=AE-BF，
即EF=|AE-BF|．

在等腰直角三角形ABC中,角C是直角,CA=CB,D是CB的中點,E是AB上的一點,且AE=2EB,求證AD垂直CE. 用向量的方法證明!

將C點與平面直角座標系的原點O重疊,點A在x軸上、點B在y軸上
設OA=OB=a,那麼點A的座標為(a,0),點B的座標為(0,a),由於D是CB中點,所以點D的座標為(0,a/2),而因為AE=2EB,所以點E的座標為(a/3,2a/3)
那麼CE=(a/3,2a/3),AD=(-a,a/2)
直接用斜率看的話CE的斜率是2,AD的斜率是-1/2,積為-1,所以兩者相互垂直
或是利用向量夾角公式cosα=(x1x2+y1y2)/√(x1^2+y2^2)(x2^2+y2^2) ,得到
cosα=0,那麼α=90°,即兩個向量相互垂直

在三角形ABC中,角C是直角,CA=CB,D是CB的中點,E是AB上的一點,且AE=2EB,求證：AD垂直CE.

設AB=3 則 易得AC=BC=3/(2^1/2) AE=2 根據餘弦定理（角為CAB） CE=（5/2)^1/2
再根據餘弦定理求得角ACE的餘弦值為（1/5）^1/2
在直角三角型CAD中 角CAD的正弦值為（1/5）^1/2
因為 CAD的正弦值等於ACE的餘弦值 所以CE垂直於AD
註釋：（1/5）^1/2 就是是1/5 的平方根
沒學餘弦定理?

如圖,在圓O中弧AB和弧AC是相等的,D、E分別是弧AB和弧AC的中點,BE、CD相交於F,求證:AD=AE=DF=EF

證明四邊形ADFE是菱形,就可以證明AD=AE=DF=EF.連線ED,根據弧長相等,那麼對應的圓周角相等.得出角DEA等於角EDC,根據內錯角相等,兩直線平行得出,AE∥DF,同理可證AD∥EF,則四邊形ADFE是平行四邊形.再根據弧長相等,則弦...

AB是圓O的直徑,C是圓O上一點,CD垂直於AB,垂足為點D,F是弧AC的中點,OF與AC相交於點E,AC＝8,EF＝2,求半徑OA

∵F是弧AC的中點
∴AE=EC,而OAC是等腰三角形
∴OE⊥AC
在RT三角形AEO中,OE=OF-EF=OA-2,AE=8/2=4
∴OA*OA=OE*OE+AE*AE, OA*OA=(OA-2)(OA-2)+4*4,
解得：OA=10

如圖所示,AB為圓O的直徑,CB是弦,OD⊥CB於E,交弧CB於D,連結AC.（1）請寫出兩個不同型別的正確結 AB為圓O的直徑,CB是弦,OD⊥CB於E,交弧CB於D,連結AC. （1）請寫出兩個不同型別的正確結論； （2）若CB=8,ED=2,求圓O的半徑.

（1）OD平分BC；角ACB=90°
（2）設半徑為R
CE=4,OC=R,OE=R-2
由勾股定理
CE^2+OE^2=OC^2
16+(R-2)^2=R^2
R=5
所以半徑為5

如圖，AB是⊙O的直徑，C是 BD的中點，CE⊥AB於E，BD交CE於點F． （1）求證：CF﹦BF； （2）若CD﹦6，AC﹦8，則⊙O的半徑為 ___ ，CE的長是 ___ ．

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB﹦90°又∵CE⊥AB，∴∠CEB﹦90°∴∠2﹦90°-∠ACE﹦∠A，∵C是BD的中點，∴BC=DC，∴∠1﹦∠A（等弧所對的圓周角相等），∴∠1﹦∠2，∴CF﹦BF；（2） ∵C是BD的中點，CD﹦6，...

如圖AB為圓的直徑,C時BD弧的中點,CE垂直於AB與E,BD交CE於點F,求 CF=BF 若CD=6 AC＝8 圓的半徑等於多少

連線OC 交BD於H
∵C是BD弧的中點
∴OC⊥BD
∵CE⊥AB OC=OB
∴△OCE≌△OBH
∴OE=OH
可得EF=HF
CF=BF
CB=CD=6
AC=8
∴AB=10
半徑為5
CE/CB=AC/AB=8/10
CE=（4/5）*6=24/5

如圖，AB是⊙O的直徑，C是 BD的中點，CE⊥AB於E，BD交CE於點F． （1）求證：CF﹦BF； （2）若CD﹦6，AC﹦8，則⊙O的半徑為 ___ ，CE的長是 ___ ．

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB﹦90°又∵CE⊥AB，∴∠CEB﹦90°∴∠2﹦90°-∠ACE﹦∠A，∵C是BD的中點，∴BC=DC，∴∠1﹦∠A（等弧所對的圓周角相等），∴∠1﹦∠2，∴CF﹦BF；（2） ∵C是BD的中點，CD﹦6，...