求證：（x^3/x+y）+（y^3/y+z）+（z^3/z+x）大於等於（xy+yz+zx）/2

求證：（x^3/x+y）+（y^3/y+z）+（z^3/z+x）大於等於（xy+yz+zx）/2

證明：x、y、z>0，依Cauchy不等式，得（x^2+y^2+z^2）（y^2+z^2+x^2）>=（xy+yz+zx）^2--->x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx.故對原式再用Cauchy不等式，得[x（x+y）+y（y+z）+z（z+x）][x^3/（x+y）+y^3/（y+z）+z^3/（z+x）]>=（x^2+y^2+z ^2）^2--->x…

若x的平方+y的平方+z的平方-xy-yz-zx=0，求證：x=y=z

x²+y²+z²=xy+yz+zx
x²+y²+z²-xy-yz-xz=0
兩邊乘2
2x²+2y²+2z²-2xy-2yz-2xz=0
（x²-2xy+y²)+（y²-2yz+z²)+（z²-2xz+x²)=0
（x-y）²+（y-z）²+（z-x）²=0
平方大於等於0，相加等於0，若有一個大於0，則至少有一個小於0，不成立.所以三個都等於0
所以x-y=0，y-z=0，z-x=0
x=y，y=z，z=x
所以x=y=z

已知x^2-yz=y^2-zx=z^2-xy，求證x=y=z或x+y+z=0

證明：因為x^2-yz=y^2-zx=z^2-xy，所以x^2-yz=y^2-zx得x^2-y^2+zx-yz=（x+y）*（x-y）+z（x-y）=0
即x-y=0或x+y+z=0，同理y^2-zx=z^2-xy得到y-z=0或x+y+z=0

若x/3=y/1=z/2，且xy+yz+zx=99，則2x^2+12y^2+9z^2=

令X=3K Y=K Z=2K代入得：3K^2+2K^2+6K^2=99所以K=3或-3，故X^2=81 Y^2=9 Z^2=36所以原式=594

若x/3=y/1=z/2，且xy+yz+zx=99，那麽2x^2+12y^2+9z^2=？

x=3y z=2y
y=+ -3
x=+-9
z=+-6
2x^2+12y^2+9z^2=594

若x:y:z=3:1:2，且zx-xy-yz=99，求2x^2+12y^2+9z^2的值

x:y:z=3:1:2，所以x/3=y/1=z/2所以x=3y，z=2y代入zx-xy-yz=996y^2-3y^2-2y^2=99y^2=99所以x^2=（3y）^2=9y^2z^2=（2y）^2=4y^2所以2x^2+12y^2+9z^2=2*9y^2+12y^2+9*4y^2=66y^2=66*99=6534