已知x，y，z為任意實數，滿足xy+yz+zx=1，求證xyz（x+y+z）≤1/3

已知x，y，z為任意實數，滿足xy+yz+zx=1，求證xyz（x+y+z）≤1/3

（xy+yz+zx）^2=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xyz（x+y+z）=1
x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=1/3（x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2）（1+1+1）≥1/3（xy+yz+zx）^2=1/3（柯西不等式）
所以xyz（x+y+z）≤1/3

證明：存在常數c，使得對所有實數x，y，z有1+│x+y+z│+│xy+yz+zx│+│xyz│＞c（│x│+│y│+│z│） 是正常數，少打一個字

兩邊取平方，C^2取1/3是可以證明的

若實數x，y，z滿足方程組： xy x+2y＝1…（1） yz y+2z＝2…（2） zx z+2x＝3…（3） ，則有（） A. x+2y+3z=0 B. 7x+5y+2z=0 C. 9x+6y+3z=0 D. 10x+7y+z=0

由（1）、（3）得y＝x
x−2，z＝6x
x−3，
故x≠0，代入（2）解得x＝27
10，
所以y＝27
7，z=-54.
檢驗知此組解滿足原方程組.
∴10x+7y+z=0.
故選D.

已知xyz=1，x+y+z=2，x2+y2+z2=16，求代數式1 xy+2z+1 yz+2x+1 zx+2y的值.

xy+2z=xy+2（2-x-y）=（x-2）（y-2）
同理，yz+2x=（y-2）（z-2），zx+2y=（z-2）（x-2）.
原式=z−2+x−2+y−2
（x−2）（y−2）（z−2）=（x+y+z）−6
xyz−2（xy+yz+xz）+4（x+y+z）−8=-4
13

已知xyz=1，x+y+z=2，x2+y2+z2=16，求代數式1 xy+2z+1 yz+2x+1 zx+2y的值.

xy+2z=xy+2（2-x-y）=（x-2）（y-2）
同理，yz+2x=（y-2）（z-2），zx+2y=（z-2）（x-2）.
原式=z−2+x−2+y−2
（x−2）（y−2）（z−2）=（x+y+z）−6
xyz−2（xy+yz+xz）+4（x+y+z）−8=-4
13

已知2x+2y+xy=-2,2y+2z+yz=-1,2z+2x+zx=50，求xyz+2（xy+yz+zx）+4（x+y+z）+8的值，講清思路謝謝.

沒想到簡單做法：第一個運算式解出x＝－（2+2y）/（2+y），第二個解出z＝－（2y+1）/（2+y），代入第三個化簡得54y^2+216y+210＝0，即6（3y+5）（3y+7）=0，囙此y＝－5/3或y＝－7/3.上面這些過程都很容易.有了y，就可得到x＝4 z＝7或…