已知三角形ABC內接於圓O，AB的延長線與過點C的切線GC相交於點D，E為圓上一點，BE與AC相交於點F，CE=CB. 求證：CB²-CF²=BF-FE

已知三角形ABC內接於圓O，AB的延長線與過點C的切線GC相交於點D，E為圓上一點，BE與AC相交於點F，CE=CB. 求證：CB²-CF²=BF-FE

樓主的書寫欠規範，更改為：“求證：CB²-CF²=BF×FE.”證明：CE=CB，則：∠CBF=∠CEB；又∠BAC=∠CEB，則：∠BAC=∠CBF.又∠BCF=∠ACB（公共角相等）.故⊿BCF∽⊿ACB，BC/AC=CF/CB.即BC²=CF×AC=CF×（CF+AF）=CF…

已知，如圖銳角三角形ABC內接於O，∠ABC=45°，點D是圓O上一點，過點D的切線DE交AC的延長線於點E 且DE平行於BC，連接AD，BD，BE，AD的垂線AF與DC的延長線交於點F，求證△ABD相似於△ADE

證明：∵BC平行DE.∴∠AED=∠ACB；又∠ADB=∠ACB.（同弧所對的圓周角相等）∴∠AED=∠ADB.（等量代換）-------------------------------------------------（1）∵DE與圓相切.∴∠ADE=∠ABD.（弦切角等於它所夾的弧所對的圓周…

在三角形ABC中，

1）連接AD，OA
PA是切線，所以，OA垂直於PA
因為CD經過圓心，所以CD是直徑
囙此因為所以，因為所以，在直角三角形OAP中，所以，那麼AP=AC
2）
因為AP是切線.所以，所以，那麼AD=DP
設AD=a，那麼PC=3a
在直角三角形ACD中.由畢氏定理得
AD²+AC²=CD²
即a²+9=4a²
a²=3 a=√3
所以，PC=3√3

已知，如圖銳角三角形ABC內接於O，∠ABC=45°，點D是圓O上一點，過點D的切線DE交AC的延 且DE平行於BC，連接AD，BD，BE，AD的垂線AF與DC的延長線交於點F，求證△ABD相似於△ADE

證明：∵BC平行DE.
∴∠AED=∠ACB；
又∠ADB=∠ACB.（同弧所對的圓周角相等）
∴∠AED=∠ADB.（等量代換）-------------------------------------------------（1）
∵DE與圓相切.
∴∠ADE=∠ABD.（弦切角等於它所夾的弧所對的圓周角）----------------（2）
∴⊿ABD∽⊿ADE.
（注：若沒學過弦切角定理，在證∠ADE=∠ABD時可以按如下過程來寫.
連接DO並延長交圓O於M，連接AM.DM為直徑，則∠MAD=90°，∠AMD+∠ADM=90°；
又DE為切線，則OD垂直於DE，∠ADE+∠ADM=90°.
∴∠ADE=∠AMD；又∠ABD=∠AMD.故∠ABD=∠ADE.）

已知三角形ABC中，AB=AC，以AB為直徑作圓O分別交AC，BC於D，E兩點，過B點的切線交OE的延長線於點F，連接FD，求證：1.FD是圓O的切線.2.弧DE=BE

聯結OD∴AO=BO=DO=EO∴∠ABC=∠OEB∠BAC=∠ADO∵AB=AC∴∠ABC=∠C∴∠OEB=∠C OE//AC∴∠BOE=∠BAC∠EOD=∠ADO∵∠BAC=∠ADO∴∠BOE=∠EOD∵BO=OD OF=OF∴△BOF和△DOF全等∴∠ODF=∠OBF=90度又D在…

三角形內接與圓O，AB是圓O直徑，點D在圓O上，過點C的切線交AD的延長線與點E，且AE垂直於CE，連接CD 求證（1）AC平分角BAE（2）DC等於BC（3）若AB=5，AC=4，求sin角CDE的值 題目補充“三角形ABC內接與圓O”

證明：（1）、連接OC∵CE是圓O切線∴OC⊥CE∵AE⊥CE∴OC‖AE∴∠OCA=∠EAC∵OA=OB∴∠OCA=∠OAC∴∠EAC=∠OAC即AC平分角BAE（2）、∵∠EAC=∠OAC∴弧CD=弧BC∴DC=BC（3）、作CF⊥AB於F∴∠CFB=∠CED=90°∵∠EAC=∠B…

已知如圖，△ABC中，以AB為直徑作⊙O，交BC於D，交AC於E.過D點作⊙O的切線FG交AC於F，交AB的延長線於G，連接AD.若AB:BG=3:1，FG⊥AC. （1）求證：AD平分∠CAB； （2）若GD=4，求BD； （3）求AE:EF:FC.

（1）證明：∵GF是切線，∴OD⊥GF∴∠ODF=90°即∠ODA+∠ADF=90°∵GF⊥AC∴∠AFG=90°即∠ADF+∠DAC=90°∴∠ODA=∠DAC∵∠ODA=∠OAD∴∠DAC=∠ODA∴AD平分∠CAB；（2）∵GD是⊙O的切線，由切割線定理得：GD2=GB•G…

在三角形ABC中，AB等於15，AC等於13，高AD等於12，則三角形abc的周長為多少 有兩個答案，一個42，一個37，

（1）在銳角三角形中：
根據畢氏定理得：
AB方-AD方=BD方，AC方-AD方=CD方
即：15方－12方＝BD方
13方－12方＝BD方
解得：BD=9，CD=5
所以：三角形abc的周長＝15＋13＋9＋5
＝42
（2）在鈍角三角形中：
同理可得：三角形abc的周長=15+13+9-5
=32

三角形abc內接於圓o，AB等於AC等於10，BC等於12.求圓O的半徑

25/4

在三角形ABC中，角ABC等於90度，AB等於4，BC等於3，O是邊AC上的一個點，以點O為圓…… 在三角形ABC中，角ABC等於90度，AB等於4，BC等於3，O是邊AC上的一個點，以點O為圓心作半圓，與邊AB相切於點D，交線段OC於點E，作EP垂直於ED，交AB於點P，交邊CB的延長線於點F. 設OA=X，AP=Y，求Y關於X的函數解析式

我畫圖時發現問題，可能是點P在邊AB的延長線上，F在邊BC上，這樣可知
三角形ADE相似於三角形AEP
得到AD/AE＝AE/AP得，AP＝AE*AE/AD（1）
這裡，直角三角形ADO相似於直角三角形ABC，
得到三邊的比例為3:4:5
OA＝X，AP＝Y
則AD＝4X/5.；圓的半徑OD＝OE＝3X/5，AE＝EO+OA＝3X/5+X＝8X/5
代入比例式（1）中，得Y＝（8X/5）*（8X/5）/（4X/5）＝16X/5