已知：如圖，⊙O的直徑EF分別交弦AB，CD於點G，H，且AG=BG，CH=DH，求證：AB//CD

連接OA OB所以三角形OAB為等腰三角形又AG=BG所以AB垂直EF，同理CD垂直EF，所以AB//CD

如圖，⊙O的直徑AB與弦EF相交於點P，交角為45°，若PE2+PF2=8，則AB等於______.

作OG⊥EF於G，連接OE，
根據垂徑定理，可設EG=FG=x，則PE=x+PG，PF=x-PG，
又∵PE2+PF2=8，
∴（x+PG）2+（x-PG）2=8，
整理得2x2+2PG2=8，x2+PG2=4，
∵交角為45°，
∴OG=PG，
∴OE2=OG2+EG2=4，
即圓的半徑是2，
∴直徑是4.

如圖，AB，CD是半徑為5的圓O的兩條弦，AB=8，CD=6，MN是直徑，AB⊥MN，CD⊥MN，P為EF上任意一點 PA+PC的最小值是多少

連結BC，BC與EF的交點為P時，PA+PC最短
連結OA，OC，由畢氏定理得
OE=3，OF=4
∴EF=7
∵AB‖CD
∴BE/CF=EP/PF
4/3=EP/PF
EP+PF=7
∴EP=4，PF=3
∴BP=4√2，PC=3√2
∴PA＋PC的最短距離=BC=7√2

如圖，在△ABC中，點D是AB上的一點，過點D作DE‖BC，交邊Ac於點E，過點E作EF‖DC交AD於點F，已知AD= 2倍根號6cm，AB=8cm求：（1）AE比AC的值（2）AF比AB的值（提示：初三平行線分線段成比例及相似三角形）

由於DE//BC，所以AE/AC=AD/AB=2根號（6）/8=根號（6）/4
由於FE//DC，所以AF/AD=AE/AC=根號（6）/4
AF/AB=（AF/AD）*（AD/AB）=（根號（6）/4）*（2根號（6）/8）=3/8

如圖，已知△ABC是等邊三角形，點D，F分別在線段BC，AB上，∠EFB=60°，DC=EF 1.求證：四邊形CDEF是平行四邊行. 2.若BF=EF，求證：AE=AD

∵△ABC是等邊三角形
∴∠B=60°
∵∠EFB=60°
∴∠B=∠EFB
即EF‖BC
∵DC=EF
∴四邊形EFCD是平行四邊形（一組對邊平行且相等）
（2）連接BE，
∵∠EFB=60°，BF=EF
∴三角形BEF為等邊三角形
即BE=BF=EF，∠ABE=60°
∵四邊形EFCD是平行四邊形
∴CD=EF
即BE=CD
又∵△ABC為等邊三角形
∴AB=AC，∠ACD=60°即∠ABE=∠ACD
在△ABE和△ACD中
BE=CD，∠ABE=∠ACD，AB=AC
∴△ABE≌△ACD（SAS）
∴AE=AD

如圖，在直角梯形ABCD中，AB‖DC，∠ABC=90°，AB=2DC，對角線AC⊥BD，垂足為F，過點F作EF‖AB，交AD於點E，CF=4cm. （1）求證：四邊形ABFE是等腰梯形；（2）求AE的長.

（1）證明：過點D作DM⊥AB，
∵DC‖AB，∠CBA=90°，
∴四邊形BCDM為矩形.
∴DC=MB.
∵AB=2DC，
∴AM=MB=DC.
∵DM⊥AB，
∴AD=BD.
∴∠DAB=∠DBA.
∵EF‖AB，AE與BF交於點D，即AE與FB不平行，
∴四邊形ABFE是等腰梯形.
（2）∵DC‖AB，
∴△DCF∽△BAF.
∴CD
AB=CF
AF=1
2.
∵CF=4cm，
∴AF=8cm.
∵AC⊥BD，∠ABC=90°，
在△ABF與△BCF中，
∵∠ABC=∠BFC=90°，
∴∠FAB+∠ABF=90°，
∵∠FBC+∠ABF=90°，
∴∠FAB=∠FBC，
∴△ABF∽△BCF（AA），即BF
CF=AF
BF，
∴BF2=CF•AF.
∴BF=4
2cm.
∴AE=BF=4
2cm.

如圖，AB是⊙O的直徑，CD為弦，分別過A、B兩點作直線CD的垂線，垂足分別為E、F.求證：EC=DF.

證明：過點O作OM⊥CD於點M，
∵OM⊥CD，
∴CM=DM，
∵AE⊥EF，OM⊥EF，BF⊥EF，
∴AE‖OM‖BF，
∵AB是⊙O的直徑，
∴OA=OB，
∴OM是梯形AEFB的中位線，
∴EM=FM
∴EM-CM=FM-DM，即EC=DF

CD為⊙o的弦，E、F在直徑AB上，EC垂直CD，DF垂直CD，求證AE=BF

過O點作OM⊥CD，交CD於M，所以M為CD的中點.又因為EC⊥CD，DF⊥CD，所以EC‖OM‖DF
綜上所述，M為CD中點，EC‖OM‖DF，得出EO＝OF，又因為OA＝OB，AE＝OA－EO，BF＝OB－OF，所以AE＝BF

在圓心O中，AB是圓心O的直徑，CD是弦，點E，F在AB上，EC⊥CD，FD⊥CD求證：AE=BF

AB是⊙O的直徑，CD是弦，AE⊥CD垂足為E，BF⊥CF垂足為F，求證：EC=DF

延長AE交圓O於G
連接OE OF OG OC OD GB
可知EG=BF平行線所夾平行線段相等
OG=OB
角OGE+OGB=90
OBD+OBG=90
OBG=OGB
故OBF=OGE
故三角形OGE全等於OBF
OE=OF
角OEF=OFE
角CEO=DFO
又角OCD=ODC OC=OD
故三角形OCE全等於ODF
故EC=DF

已知：如圖，⊙O的直徑EF分別交弦AB，CD於點G，H，且AG=BG，CH=DH，求證：AB//CD