如圖在圓o中弦ab分別交oc，od於m，n若amc=bnd求證am=bn

證明：過O作OE⊥AB，垂足為E，
因為∠AMC=∠BND
∠AMC=∠OMN
∠BND=∠ONM
所以∠OMN=∠ONM
所以OM=ON
所以ME=NE，（三線合一）
因為OE⊥AB
所以AE=BE（垂徑定理）
所以AE-ME=BE-NE
即AM=BN

已知，如圖，AB是圓O的半徑，弦CD‖AB，直線CM、DN分別切半圓於點C，D，且分別和直線AB相交於點M、N. （1）求證：MO =NO；（2）設角M=30°，求證：MN=4CD.

（1）∵AB‖CD，∴弧AC=弧BD，∴∠COM=∠DON，∵直線CM、DN分別切半圓於點C，D∴∠OCM=∠ODN=90°又∵OC=OD，∴△OCM≌△ODN，∴OM=ON，（2）∵△OCM≌△ODN，∴∠N=∠M=30°，∴∠COM=∠DON=60°，∴∠COD=180°-60°-60°=60°，…

在圓O中，弦AB垂直弦CD於M，已知圓O的半徑是5，BM＝6，AM＝2求DM－CM的大小

作OE垂直AB於E，則BE=BA/2=（6+2）/2=4；連接OB，則OE=√（OB^2-BE^2）=√（25-16）=3.作OF垂直CD於F，則CF=CD/2.∵∠OEM=∠EMF=∠MFO=90°.∴四邊形OEMF為矩形，FM=OE=3.故DM-CM=FM+DF-CM=FM+CF-CM=FM+FM=6….

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB於點M，AM=2，BM=8，求CD的長度.

連接OC，
∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB於點M，
∴CD=2CM，
∵AM=2，BM=8，
∴AB=10，AC=AO=5，OM=AO-AM=3，
在Rt△CMO中，CM=
CO2−OM2=4，
∴CD=8.

已知：如圖，⊙O的直徑PQ分別交弦AB，CD於點M，N，AM=BM，AB‖CD. 求證：DN=CN.

證明：∵PQ是直徑，AM=BM，
∴PQ⊥AB於M.
又∵AB‖CD，
∴PQ⊥CD於N.
∴DN=CN.

如圖，AB是圓O的弦，CD切圓O於點M，且CD‖AB，求證AM=BM

連接OM，OM交AB於N，因為CD切圓於點M，所以，CD⊥OM，因為CD‖AB，所以，AB⊥OM，那麼△MNA和三角形MNB全等，所以AM=BM

如圖，M為圓O內一點，利用尺規做一條弦，使AB過點M，並且AM=BM

主要過程分兩步：（1）確定圓心：在圓周上任意取三點N、P、Q，作MN、MP垂直平分線具體操作如下：以N、P為圓心，大於NP/2長為半徑畫弧，兩弧交於兩點，過這兩點作一條直線即為NP垂直平分線以N、Q為圓心，大於NQ/2長為半徑…

已知如圖，△ABC中，AB=AC，O是△ABC內一點，且OB=OC，AO的延長線交BC於D.求證

證明：
∵AB=AC，OB=OC，AO=AO
∴△AOB≌△AOC
∴∠BAO=∠CAO
∵AB=AC
∴AD⊥BC，BD=DC（等腰三角形三線合一）

如圖，△ABC中，AB=AC，O是△ABC內一點，且∠OBC=∠OCB，求證：AO⊥BC.

證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（等邊對等角），
∵∠OBC=∠OCB，
∴∠ABO=∠ACO，OB=OC（等角對等邊），
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴∠OAB=∠OAC，
又∵AB=AC，
∴AO⊥BC（等腰三角形三線合一）.

已知如圖，△ABC中，AB=AC，O是△ABC內一點，且OB=OC，AO的延長線交BC於D.求證：AD⊥BC，BD=CD.

證明：
∵AB=AC，OB=OC，AO=AO
∴△AOB≌△AOC
∴∠BAO=∠CAO
∵AB=AC
∴AD⊥BC，BD=DC（等腰三角形三線合一）

如圖在圓o中弦ab分別交oc，od於m，n若amc=bnd求證am=bn