如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，CE⊥CD交AB於E，DF⊥CD交AB於F，求證：AE=BF.

如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，CE⊥CD交AB於E，DF⊥CD交AB於F，求證：AE=BF.

證明：過O作OG⊥CD，由垂徑定理可知OG垂直平分CD，則CG=DG，
∵CE⊥CD，DF⊥CD，OG⊥CD，
∴CE‖OG‖DF，
∵CG=DG，
∴OE=OF，
∵OA=OB，
∴AE=BF.

在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，CE⊥CD於點C，交AB於點E，DF⊥CD於點D，交AB於點F求證：AE=BF 證：設M為CD中點連接OM， 則OM垂直於CD（垂弦定理） 又因為CE垂直於CD，DF垂直於CD 所以CE平行於OM平行於DF（在同一平面內，垂直於同一直線的兩條直線相互平行） 又因為M為CD中點（已設） 所以OE=OF（平行線分線段成比例） 而OA=OB（圓內半徑） 所以OA-OE=OB-OF 即AE=BF 所以OE=OF（平行線分線段成比例） 這一步看不懂 沒有學過平行線分線段成比例 有沒有用國中教材學過的方法證明這道題？

就是梯形的中位線定理，又叫平行線等分線段定理，這個在國中教材是删掉了的
意思是說在幾條平行線間，任意的線段被等分的比例是相等的，最典型的例子是練習本的格子，你拿一把尺子，讓尺子的一邊被格子線等分，然後你轉動尺子，這時，斜的尺子的邊，也是如剛剛的直邊一樣被等分..

AB是圓o的直徑，CD是圓o的弦，AE垂直於CD，BF垂直於CD，E、F分別為垂足，說明CE=DF

過圓心O做OG⊥CD於點G，則有：CG = DG .因為，AE、BF、OG都和CD垂直，所以，AE‖BF‖OG .已知，OA = OB，可得：GE = GF .（不同直線被同一組平行線截得的線段比例相等）（另一解釋：GE和GF分別等於點O到AE和BF的距離，OA=O…

在圓O內，AB是直徑，CD是相交AB的弦，且AB=10，CD=8，AE垂直CD於E，BF垂直CD於F，求AE-BF=？

AE-BF=6設AB與CD交於點G，連接圓心O與弦CD中點H，在線段AG上取點M，使GM=GB，過M做MN‖BF，MP‖CD，分別交CD和AE於N和P兩點∵MN‖BF∴∠NMG=∠GBF∵GM=GB∠MGN=∠BGF（對頂角相等）∴△MGN≌△BGF∴MN=BF∵AE垂直CD於E，BF垂…

已知，圓心O的弦CD與直徑AB垂直於F，E在CD上，AE=CE，1）求證CA平方=AE×CD 2）已知CA＝5，EA等於3，求sin∠EAF 2012雅安

1，可先證得等腰△ACD和等腰△AEC相似，所以有AC/CE=DC/AC，所以AC的平方=CE*CD，AE=CE，所以AC的平方=AE*CD，
2，因為AC的平方=AE*CD，代入數值計算得出CD=25/3，CF=1/2*CD=25/6，EF=CF-CE=7/6，
sin∠EAF=EF/AE=7/18

如圖，AB是⊙O的直徑，CD為弦，分別過A、B兩點作直線CD的垂線，垂足分別為E、F.求證：EC=DF.

證明：過點O作OM⊥CD於點M，
∵OM⊥CD，
∴CM=DM，
∵AE⊥EF，OM⊥EF，BF⊥EF，
∴AE‖OM‖BF，
∵AB是⊙O的直徑，
∴OA=OB，
∴OM是梯形AEFB的中位線，
∴EM=FM
∴EM-CM=FM-DM，即EC=DF

如圖：AB、AC是⊙O的兩條弦，延長CA到點D，使AD=AB，若∠D=40°，求∠BOC的度數.

∵AD=AB，∠D=40°，
∴∠ABD=∠D=40°，
∴∠BAC=∠ABD+∠D=80°，
∴∠BOC=2∠BAC=160°.

如圖，AB、AC是圓心O的兩條弦，延長CA到點D，使AD=AB，如果∠ADB=30°，那麼∠BOC=

30度.圓心角是所對圓周角度數的一半.

如圖，AB是⊙O的直徑，AM，BN分別切⊙O於點A，B，CD交AM，BN於點D，C，DO平分∠ADC. （1）求證：CD是⊙O的切線； （2）若AD=4，BC=9，求⊙O的半徑R.

（1）證明：過O點作OE⊥CD於點E，
∵AM切⊙O於點A，
∴OA⊥AD，
又∵DO平分∠ADC，
∴OE=OA，
∵OA為⊙O的半徑，
∴OE是⊙O的半徑，且OE⊥DC，
∴CD是⊙O的切線.
（2）過點D作DF⊥BC於點F，
∵AM，BN分別切⊙O於點A，B，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴四邊形ABFD是矩形，
∴AD=BF，AB=DF，
又∵AD=4，BC=9，
∴FC=9-4=5，
∵AM，BN，DC分別切⊙O於點A，B，E，
∴DA=DE，CB=CE，
∴DC=AD+BC=4+9=13，
在Rt△DFC中，DC2=DF2+FC2，
∴DF=
DC2−FC2＝
132−52=12，
∴AB=12，
∴⊙O的半徑R是6.

AM是圓O直徑圓O上一點B作BN垂直於AM，其延長線交圓O於C弦CD交AM於ECD交AB於FCD=AB證CE方=EF*ED 若CD AB的延長線交於點F，且CD=AB，那麼結論是否成立，請證明. 我已經證明出第一問了，

簡單阿
連接EB BD
角EBA=角ACE（角ACB=角ABC，角ECB=角EBC）
而角ACE=角CAB（CD=AC=AB）
角CAB=角CDB（同弦）
所以
角EBA=角CDB，角DEB為公角
三角形EBD與EFB相似
EB/EF=ED/EB
而EB=EC
替換即得所求