증명 부등식: a4 + b4 + c4 ≥ a2b 2 + b2c 2 + c2a 2 ≥ abc (a + b + c)

증명: (8757), a4 + b4 ≥ 2b2, b4+ c4 ≥ 2b2c2, c4 + a4 ≥ 2c2, c4 + a4 ≥ 2a4 ≥ 2a 2 2 (a4 + b4+ b4 + c4) ≥ 2 (a2b 2 + b2c2 + a2c2) 즉 a4 + a4 + a4 + c4 ≥ a4 + c2 + b2 + a2c2 + a 2 2 또는 또는 a2b2 + b2≥ 22c2 ≥ 22ac c; b2cc2 ≥ 222cc2 + a2 ≥ 222c2 ≥ 22a2 ≥ 2222a222222222a22222222a2222222222222bc ≥ ≥ 2222222222222222+...

설정 abc 는 R 증명 | 체크 a ^ 2 + b ^ 2 - 체크 a ^ 2 + c ^ 2 |

2 (a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3) a ^ 2 (b + c) + b ^ 2 (a + c) + c ^ 2 (b + a) 로 정렬 부등식 증명 a b c 모두 양수 2 (a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3) (a ^ 2) + (b + c) + (b ^ 2) + (a + c) + (c ^ 2) (b + a) 순 으로 부등식 증명

무방 비: 00

증명 부등식: a. b. c. 8712 ° R, a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 ≥ abc (a + b + c)

a ^ 4 + b ^ 4 > = 2a ^ 2 * b ^ 2
a ^ 4 + c ^ 4 > = 2a ^ 2 * c ^ 2
2a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 > = 4a ^ 2 * bc
같은 이치 로 2b ^ 4 + c ^ 4 + a ^ 4 > = 4ab ^ 2 * c
2 c ^ 4 + a ^ 4 + b ^ 4 > = 4abc ^ 2
더 하 다.
4a ^ 4 + 4b ^ 4 + 4c ^ 4 > = 4a ^ 2 * bc + 4ab ^ 2 * c + 4abc ^ 2
즉 a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 > = abc (a + b + c)
등호 를 얻다

수학 부등식 증명 설정 x ≥ 1, 검증 1 + x + x ^ 2 +...+ x ^ 2n ≥ 2 (n + 1) x ^ n? 서열 부등식 을 사용 해 야 할 것 같 아 요!

우선 너 는 격식 을 차 려 써 야 하 는 것 자체 가 틀 렸 다.
령 n = 1, x = 1 왼쪽 = 3 = 2x ^ n
x ^ (2n - 1) + x > = 2x ^ n
...
x ^ (n + 1) + x ^ (n - 1) > = 2x ^ n
x ^ n = x ^ n
양쪽 을 동시에 합치 면 얻 을 수 있어 요.
1 + x + x ^ 2 +...+ x ^ 2n ≥ (2n + 1) x ^ n

x > a ^ 2 + b ^ 2 x > 2ab

증명:
에서 (a + b) ^ 2 > 0
득 a ^ 2 + b ^ 2 > 2ab
유 x > a ^ 2 + b ^ 2
득 x > 2ab

급, 증명 부등식 구 증 a ＞ 0, b ＞ 0, c ＞ 0, a + b + c = 1 구 증 ab + bc + ac ≤ 1 / 3

증명: 분명 (a - b) ^ 2 + (b - c) ^ 2 + (c - a) ^ 2 ≥ 0,
전개, 정리 a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 ≥ ab + bc + ca (이것 은 흔히 볼 수 있 는 결론 이 니 익숙해 져 라!)
따라서 (a + b + c) ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) + 2ab + 2bc + 2ca ≥ (ab + bc + ca) + 2ab + 2bc + 2ca = 3 (ab + bc + ca)
또 a + b + c = 1, 대 입 식 1 ≥ 3 (ab + bc + ca)
그러므로: a b + b c + ac ≤ 1 / 3, 당 해 a = b = c 시 등호 성립, 증필!
PS. a ＞ 0, b ＞ 0, c ＞ 0 의 조건 은 불필요 합 니 다!

수학 부등식 증명. 이미 알 고 있 는 a > 0. b > 0 그리고 a + b = 1 인증; (a + 1 / a) * (b + 1 / b) > = 25 / 4

당신 이 증명 하고 자 하 는 부등식 은 4 (a ^ 2 + 1) (b ^ 2 + 1) > = 25ab 전개 간소화: 4a ^ 2b ^ 2 + 4a ^ 2 + 4b ^ 2 + 4 > = 25ab a + b = 1, 그래서 (a + b) ^ 2 = 1, 내 놓 기 a ^ 2 + b ^ 2 = 1 - 2ab 대 입, 증 의 부등식 은 4a ^ 2b ^ 2 - 33ab + 8 > = 0 설정 ab = x, 분해 4x 2 - 33x = 4 / 8 = ab

a > b > c 증명 a ^ 2b + b ^ 2 c + c ^ 2a > ab ^ 2 + bc ^ 2 + ca ^ 2 제목 과 같다.

a ^ 2b + b ^ 2 c + c ^ 2a - ab ^ 2 - bc ^ 2 - ca ^ 2
= a ^ 2 (b - c) + a (c ^ 2 - b ^ 2) + bc (b - c)
= a ^ 2 (b - c) - (ab + ac) (b - c) + bc (b - c)
= (b - c) (a ^ 2 - ac - ab + bc)
= (b - c) [a (a - c) - b (a - c)]
= (b - c) (a - b) (a - c)
a > b > c 때문에,
그래서 b - c > 0, a - b > 0, a - c > 0,
그래서 (b - c) (a - b) (a - c) > 0,
즉 a ^ 2b + b ^ 2 c + c ^ 2a - ab ^ 2 - bc ^ 2 - ca ^ 2 > 0,
그래서 a ^ 2b + b ^ 2 c + c ^ 2a > ab ^ 2 + bc ^ 2 + ca ^ 2

a, b, c 를 양수 로 알 고 있 으 며, 정렬 부등식 증명: 2 (a 3 + b3 + c3) ≥ a 2 (b + c) + b2 (a + c) + c2 (a + b).

증명: 먼저 증명: a 3 + b3 ≥ a2b + ab2,
∵ (a3 + b3) - (a2b + ab2)
= a2 (a - b) - b2 (a - b)
= (a - 2 - b2) (a - b)
= (a + b) (a - b)
≥ 0,
∴ a 3 + b3 ≥ a2b + ab2, 등호 의 조건 은 a = b,
같은 이치, a3 + b3 ≥ a2b + ab2,
a3 + c3 ≥ a2c + ac2,
b3 + c3 ≥ b2c + bc2
3 식 더하기, 득:
2 (a 3 + b3 + c3) ≥ a 2 (b + c) + b2 (a + c) + c2 (a + b),
등호 의 조건 은 a = b = c 이다.
≥ a 3 + b3 + c3) ≥ a 2 (b + c) + b2 (a + c) + c2 (a + b).

증명 부등식: a4 + b4 + c4 ≥ a2b 2 + b2c 2 + c2a 2 ≥ abc (a + b + c)