証明不等式：a 4+b 4+c 4≧a 2 b 2+b 2 c 2+c 2 a 2≥abc(a+b+c)

証明不等式：a 4+b 4+c 4≧a 2 b 2+b 2 c 2+c 2 a 2≥abc(a+b+c)

証明：がっかりa 4+b 4≥2 a 2 b 2、b 4+c 4≥2 b 2 c 2、c 4+a 4≥2 a 2 c 2∴2(a 4+b 4+c 4)≥2(a 2 b 2+b 2+a 2 c 2+a 2+a 2 c 2)つまりa 4+b 4+c 4≧a2 b 2 b 2+b 2+b 2+b 2+a 2+b 2+a 2+b 2+a 2+b 2+b 2+b 2+b 2+b 2+b 2+b 2+b 2+b 2+b 2+b 2+b 2+b 2+b 2+b 2+a 4+c 4+a 4+c 4+c 4+c 4+c 4+a 4+c 4+a 4+a 4+a 4+a 2(a 2 b 2+b 2 c 2+a 2 c 2)≧2(a 2 bc+ab 2 c+…

abcがR証明|√a^2+b^2-√a^2+c^2|に属するとする。

三角形、両側の差は第三辺より小さいです。
ポイントB（a，b）、ポイントC（a，c）、Oを原点とします。
OB=√[a^2+b^2]，OC=√[a^2+c^2]，BC=124 b-c|
OBCが三角形を構成するとき、|OB-OC 124;＜BC、すなわち|√a^2+b^2-√a^2+c^2|

2(a^3+b^3+c^3)」a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(b+a)を並べ替え不等式で証明します。 a b cは正数2(a^3+b^3+c^3)」(a^2)(b+c)+(b^2)(a+c)+(c^2)(b+a)で並べ替えられた不等式で証明されています。

かまわない：00

証明不等式：a.b.c∈R、a^4+b^4+c^4≧abc(a+b+c)

a^4+b^4>=2 a^2*b^2
a^4+c^4>=2 a^2*c^2
2 a^4+b^4+c^4>=4 a^2*bc
同理2 b^4+c^4+a^4>=4 ab^2*c
2 c^4+a^4+b^4>=4 abc^2
加算
4 a^4+4 b^4+4 c^4>=4 a^2*bc+4 ab^2*c+4 abc^2
つまりa^4+b^4+c^4>=abc(a+b+c)
a=b=cの場合は等号を取得する

数学の不等式の証明 x≧1を設定して、1+x+x^2+を証明してください。＋x^2 n≧2（n＋1）x^n？ソート不等式を使うらしいです。

まずあなたが式で書かなければならないこと自体が間違っています。
令n=1,x=1左=3=2 x^n
x^(2 n-1)+x>=2 x^n
…
x^(n＋1)+x^(n-1)>=2 x^n
x^n=x^n
両方を合わせてもらえばいいです。
1+x+x^2+…+x^2 n≧(2 n+1)x^n

x>a^2+b^2 x>2 abがあります

証明:
(a+b)^2>0
得a^2+b^2>2 ab
x>a^2+b^2
得x>2 ab

せっかちで、証明の不等式 検証a＞0、b＞0、c＞0、a+b+c=1検証a+bc+ac≦1/3

証明：明らか(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≧0
展開、a^2+b^2+c^2≧ab+bc+caに整理しました。
そこで(a+b+c)^2=(a^2+b^2+c^2)+2 ab+2 bc+2 ca≧(ab+bc+ca)+2 ab+2 bc+2 ca=3(ab+bc+ca)
またa+b+c=1、代入式は1≧3(ab+bc+ca)を得ることができます。
したがって、a b+b c+ac≦1/3で、a=b=cの場合だけ、等号が成立します。
PS.a＞0、b＞0、c＞0の条件は余分です。

数学の不等式の証明. a>0.b>0をすでに知っていて、a+b=1の検証；（a＋1/a）*（b＋1/b）>=25/4

証明したい不等式は4(a^2+1)(b^2+1)==25 ab展開化簡は、4 a^2 b^2+4 a^2+4 b^2+4'=25 abはa+b=1なので、a+2+b^2を出して、a^2+b^2=1 bを代理して上に入れます。証明する不等式は4 a=32 a+3 b=3 xになります。

a>b>cはa^2 b+b^2 c+c^2 a>b^2+bc^2+ca^2を証明する。 問題のとおり

a^2 b+b^2 c+c^2 a-ab^2-bc^2-ca^2
=a^2(b-c)+a(c^2-b^2)+bc(b-c)
=a^2(b-c)-(ab+ac)(b-c)+bc(b-c)
=(b-c)(a^2-ac-ab+bc)
=(b-c)[a(a-c)-b(a-c)]
=(b-c)(a-b)(a-c)
a>b>cのために、
したがって、b−c＞0、a−b＞0、a−c＞0、
したがって、（b−c）（a−b）（a−c）＞0、
a^2 b+b^2 c+c^2 a-ab^2-bc^2-ca^2>0であり、
だからa^2 b+b^2 c+c^2 a>ab^2+bc^2+ca^2

aをすでに知っていて、b、cは正数で、並べ替えの不等式で証明します：2（a 3+b 3+c 3）≧a 2（b+c）+b 2（a+c）+c 2（a+b）.

証明：まず証明します。a 3+b 3≥a 2 b+ab 2、
⇒（a 3+b 3）-（a 2 b+ab 2）
=a 2(a-b)-b 2(a-b)
=(a 2-b 2)(a-b)
=(a+b)(a-b)2
≧0，
∴a 3+b 3≧a 2 b+ab 2、等号を取る条件はa=bで、
同理、a 3+b 3≥a 2 b+ab 2,
a 3+c 3≧a 2 c+ac 2,
b 3+c 3≧b 2 c+bc 2
三式加算、得：
2(a 3+b 3+c 3)≥a 2(b+c)+b 2(a+c)+c 2(a+b)
等号を取る条件はa=b=cで、
∴2(a 3+b 3+c 3)≥a 2(b+c)+b 2(a+c)+c 2(a+b)