在梯形ABCD中,AB‖CD,F為BC中點,且AF⊥AD,E在CD上,滿足AF=EF.(1)求證:12∠AFE+∠D=90°;(2)連結AE,若AD=5,AF=6,求AE的長.

在梯形ABCD中,AB‖CD,F為BC中點,且AF⊥AD,E在CD上,滿足AF=EF.(1)求證:12∠AFE+∠D=90°;(2)連結AE,若AD=5,AF=6,求AE的長.

(1)證明:過F作FN⊥AE於N,交AD於M,∵AF=EF,∴∠AFM=∠EFM=12∠AFE,AN=EN,∵F為BC中點,AB‖DC,∴FM‖AB‖CD,∴AM=DM,∠ANM=∠AED=90°,∵FM⊥AE,AF⊥AD,∴∠MAF=∠ANF=90°,∴∠AFM+∠NAF=90°,∠DAE+∠NAF=90°,∴∠AFM=∠DAE=12∠AFE,∵∠∠AED=90°,∴∠D+∠DAE=90°,即12∠AFE+∠D=90°.(2)∵AM=DM,AD=5,∴AM=2.5,在Rt△MAF中,由畢氏定理得:MF=AM2+AF2=2.52+62=132,由三角形面積公式得:S△MAF=12×AM×AF=12×FM×AN,∴2.5×6=132AN,∴AN=3013,∴AE=2AN=6013.