求極限limx→0 x-arcsinx/xsinxtan2x

求極限limx→0 x-arcsinx/xsinxtan2x

x->0時，sinx~x，tan2x~2x
lim x-arcsinx/xsinxtan2x
=lim x-arcsinx/2x^3
=lim [1-1/√（1-x²；）]/6x²；
=lim [-x（1-x²；）^（-3/2）]/12x
=lim [-（1-x²；）^（-3/2）]/12
=-1/12

求limx趨向於無窮（xsinx分之1）

lim（x→∞）（xsinx分之1）
=lim（x→∞）sin（1/x）/（1/x）
=lim（t→0）sin（t）/t
=1

f（x）=x（x+1）（x+2）.（x+n）求f（0）的n階導數
準確說是f（x）的n階導數等於0時的值

右邊是n+1次多項式，一定可以擴展成如下形式：aX^（n+1）次方+bX^（n）次方+…中間省略…+cX.abc為係數暫時不考慮這個式子經過n次求導之後剩下的一定是aX+b.首先看a，a是n+1次方的係數，看得出來是1.再看b，b是n次方的係數，…

求f（x）=1/（1+x+x^2）在x=0處的N階導數

f（x）*（1+x+x^2）=1，用Leibniz公式求n階導得f^n（x）*（1+x+x^2）+nf^（n－1）（x）*（1+2x）+n（n－1）f^（n－2）（x）=0，令x＝0代入得an+na（n－1）+n（n－1）a（n－2）=0，其中an=f^n（0）.易知a0=1，a1=－1，可以用數學歸納法證明a（3n）＝（3n）！…

求該函數N階導數Y=X/（1-X^2）

y=x/（1-x^2）
=1/2[1/（1-x）-1/（1+x）]
y=1/（1-x）
y'=1/（1-x）^2
y''=2/（1-x）^3
y^（n）=n！/（1-x）^（n+1）
y=1/（1+x）
y'=-1/（1+x）^2
y''=2/（1+x）^3
y^（n）=（-1）^n*n！/（1+x）^（n+1）
所以
y=x/（1-x^2）
的n階導數為；
y^n=1/2[n！/（1-x）^（n+1）-（-1）^n*n！/（1+x）^（n+1）]
=n！/2[1/（1-x）^（n+1）-（-1）^n/（1+x）^（n+1）]

設f（x）在點a的某領域內具有二階連續導數，求
[f（a+h）+f（a-h）-2f（a）]/（h^2）
在x→0時的極限值.
答案是f``（a），就是f（a）的二階導.

首先要說明：不是求“在x→0時的極限值”，而是求“在h→0時的極限值”因為設f（x）在點a的某領域內具有二階連續導數，所以：lim（h→0）{[f（a+h）+f（a-h）-2f（a）]/h^2}.是（0/0）型未定式，可以使用洛必達法則I，並注意複合函…

若f（x）在（-∞，+∞）內有一階連續導數且f（0）=0，則當A=？時，g（x）=f（x）/x，x≠0；A，x=0在（-∞，+∞）內連續

若f（x）在（-∞，+∞）內有一階連續導數且f（0）=0，有：
f'（0）=[f（0+dx）-f（0）]/dx，dx趨近於0
=f（dx）/dx
g（x）=f（x）/x在x=0處連續，則x趨近0的時候應該等於A
x趨近0，f（x）/x=f'（0）
所以A=f'（0）

導數練習題f（x）=（x－a）×g（x），g（x）在x=a處有連續的2階導數，求f′（a），f
題目還是一樣的，求f〃（a）的結果是？

f′（a）=lim {f（x）-f（a）}/（x-a）=lim {（x-a）g（x）-0}/（x-a）=lim g（x）=g（a）

設函數f（x），g（x）在[a，b]上連續，在（a，b）內具有二階導數且f（a）=f（b）=0，f（c）>0，c屬於（a，b），則存在s屬於（a，b）
使f（s）的二階導=0

函數f（x）在區間[a，b]上連續，在區間（a，b）內有二階導數
由拉格朗日中值定理f’（c）-f’（a）=（c-a）f'’（ξ）>0所以f'（ξ）>0；ξ∈（a，c）
同理f’（b）-f’（c）=（b-c）f'’（η）

e^（x+y）+xy=1，求f（x）的n階導數在x=0處的值

這是方程確定的函數導數問題，因
e^（x+y）+xy=1
當x=0時，y=0
方程兩邊對x求導，得
e^（x+y）（1+y'）+y+xy'=0（1）
將x=0，y=0代入得到1+y'（0）=0，解得y'（0）=-1
（1）的兩邊繼續對x求導，得到
e^（x+y）（1+y'）^2+e^（x+y）y“+2y'+xy”=0
將x=0，y=0，y'（0）=-1代入得到y“（0）=2
有上面的過程，可以判斷出，凡是含有（1+y'）因數的項，全部為0，含有x，y的項最後也為0
囙此，原方程連續對x求n次導數，得到
（1+y'）g（x）+e^（x+y）y^（n）+（n-1）y^（n-1）+xh（x）=0
於是得到：y^（n）（0）=-（n-1）y^（n-1）（0）（2）
反復使用（2）得到
y^（n）（0）=（-1）^（n-1）（n-1）！y'（0）
=（-1）^n×（n-1）！