設動直線L垂直於x軸，且與橢圓x2+2y2=4交於A，B兩點，P是L上滿足向量PA乘向量PB=1的動點，求點P的軌跡方程

設動直線L垂直於x軸，且與橢圓x2+2y2=4交於A，B兩點，P是L上滿足向量PA乘向量PB=1的動點，求點P的軌跡方程

x^2/2-y^2=3（x絕對值＜2）

過點P（1，-2）作直線交橢圓x²；＋2y²；=8於A，B兩點，PA×PB=2/3，求此直線的傾斜角.

設此直線的斜率為k，則直線為y=k（x-1）-2
即y=kx-k-2
設A（x1，kx1-k-2）B（x2，kx2-k-2）
PA=（x1-1，kx1-k），PB=（x2-1，kx2-k）
PA×PB=（x1-1）（x2-1）+（kx1-k）（kx2-k）=（1+k²；）[x1x2-（x1+x2）+1]=2/3
得到：（1+k²；）[x1x2-（x1+x2）+1]=2/3①
聯立：x²；＋2y²；=8，y=kx-k-2
消去y得到：（1+2k²；）-（4k²；+8k）x+2k²；+8k=0
於是x1+x2=（4k²；+8k）/（1+2k²；），x1x2=（2k²；+8k）/（1+2k²；）
代入①得到：
（1+k²；）[（2k²；+8k）/（1+2k²；）-（4k²；+8k）/（1+2k²；）+1]=2/3
即（1+k²；）/（1+2k²；）=2/3
則：k²；=1
解得k=1或者k=-1
當k=1時，傾斜角為45°；當k=-1時，傾斜角為135°
答：此直線的傾斜角為45°或者135°

設直線l過點P（0，3），和橢圓x29+y24＝1順次交於A、B兩點，則APPB的取值範圍是______.

如圖所示，由橢圓x29+y24＝1可得a2=9，b2=4，解得b=2.當PA（PB）與橢圓相切時，|AP||PB|=1.當點A，B為橢圓的短軸的端點時，|AP||PB|＝3−23+2＝15.由於AP與PB的方向相反，∴−1≤APPB≤−15.故答案為：[−1，−15].

斜率為1的直線與橢圓x^2+y^2/4=1交於AB兩點，P為線段AB上的點，且AP/PB=2，則P點的軌跡方程式

把y=x+m①代入x^2+y^2/4=1，整理得
5x^2+2mx+m^2-4=0，
△=4m^2-20（m^2-4）=16（5-m^2）
設A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），則
x1,2=[-m土2√（5-m^2）]/5，
由AP/PB=2得（x-x1，y-y1）=2（x2-x，y2-y），
∴x=（x1+2x2）/3=（-3/5）m土（2/5）√（5-m^2），
由①，m=y-x，代入上式化簡得
（2x+3y）^2=4[5-（y-x）^2]，
即8x^2+4xy+13y^2=20，為所求.

在四棱錐P-ABCD中CD//AB，AD⊥AB，AD=DC=1/2AB，BC⊥PC，（1）求證PA⊥BC
（2）若M是線段PB中點，求證：CM‖平面PAD

（1）∵AC=√（AD^2+DC^2）=√2/2AB，作CE⊥AB，同理可得BC=√2/2AB，AC^2+BC^2=1/2AB^2+1/2AB^2=AB^2
∴BC⊥AC
∵BC⊥PC，PC∩AC於C
∴BC⊥平面PAC
∴PA⊥BC
（2）作PA中點N，連結MNDC
∵M，N分別為PA，PB中點
∴MN‖=1/2AB
∵CD‖=1/2AB
∴四邊形MNDC為平行四邊形
∴CM平行DN
∵DN∈平面PAD，CM∉；平面PAD
∴CM‖平面PAD

如圖，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E是PD的中點，PA=AB=3，求直線AE與平面PBC所成的正弦值.

本題似乎還缺少條件.具體解答可以如下考慮：
取PC、AB的中點N、M，則：AE//MN.因BC⊥平面PAB，所以平面PAB⊥平面PBC，則過點M作MH⊥PB於H，所以∠MNH就是直線AE與平面PBC所成角.

已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，E是PD的中點.求證：PB‖ACE

證：連結AC，BD交於O連結OE
因為ABCD為菱形所以O為DB中點
則OE為三角形DPB中位線
所以OE平行於PB
又因為OE屬於平面ACE
所以PB平行於面ACE
這種問題一般借用三角形中位線

四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB//DC，∠BCD=90°求證，PC⊥BC

證明：因為PD⊥平面ABCD，BC在平面ABCD
所以PD⊥BC
又∠BCD=90°，即BC⊥CD
所以BC⊥平面PCD
因為PC在平面PCD內
所以PC⊥BC

已知，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則△ABE的面積為______A.6cm2B.8cm2 ； ； ；C.10cm2D.12cm2.

將此長方形折疊，使點B與點D重合，∴BE=ED.∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE.∴BE=9-AE，根據畢氏定理可知：AB2+AE2=BE2.解得AE=4.∴△ABE的面積為3×4÷2=6.故選A.

長方形紙片ABCD中，AD=9，AB=3，將其折疊，使點D與點B重合，點C至點G處，折痕為EF，求△BEF的面積

設AE為x AB²；+AE²；=BE²；=DE²；=（9-x）²；=> 9+x²；=81-18x+x²；=> 18x=72 => x=4
∴9-x=9-4=5=DE=BF
∴△BEF面積=BF*AB/2=5*3/2=7.5