已知：如圖，AD與BC相交於點O，∠CAB=∠DBA，AC=BD.求證：△AOC≌△BOD.

已知：如圖，AD與BC相交於點O，∠CAB=∠DBA，AC=BD.求證：△AOC≌△BOD.

證明：在△ABC和△BAD中，AC＝BD∠CAB＝∠DBAAB＝AB，∴△ABC≌△BAD（SAS），∴∠C=∠D，在△AOC和△BOD中，∠AOC＝∠BOD∠C＝∠DAC＝BD，∴△AOC≌△BOD（AAS）.

如圖，AD，BC分別平分∠CAB，∠DBA，且∠1=∠2，試探究AC與BD的大小關係，並說明理由
要推出格式

證明：
∵∠CAB=2∠1
∠DBA=2∠2
∠1=∠2
∴∠CAB=∠DBA
又∵∠1=∠2
AB=AB
∴△CAB≌△DBA
∴AC=BD

如圖，AC‖BD，AE，BE分別平分∠CAB和∠DBA，點E在CD上.求證：AB=AC+BD.

證明：如圖，在AB上截取AF=AC，連接EF，在△CAE和△FAE中，AC＝AF∠CAE＝∠FAEAE＝AE，∴△CAE≌△FAE（SAS），則∠CEA=∠FEA，又∠CEA+∠BED=∠FEA+∠FEB=90°，∴∠FEB=∠DEB，∵BE平分∠DBA，∴∠DBE=∠FBE，在△…

在等腰梯形ABCD中，AB‖DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，點P從點A出發，以每秒2個組織的速度沿
在等腰梯形ABCD中，AB‖DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，點P從點A出發，以每秒2個組織的速度沿AD→DC向終點C運動，同時點Q從點B出發，以每秒1個組織的速度沿BA向終點A運動，設運動時間為t秒.在整個運動過程中，當t為何值時，以點C、P、Q為頂點的三角形是直角三角形？

當0＜t≤2時，即N在AD上時，分兩種情况進行討論：
①當∠BMQ=90°，即M與P點重合，那麼BM+PF+CF=BM+ND+CF=2t+1=4
解得：t=1.5s.
②當∠BQM=90°，在直角三角形NQD中，ND=t，∠ADB=∠DBC=30°，
∴NQ= 33t.
∵NP= 3∴QP= 3- 33t
在直角三角形BQM中，∠DBC=30°，BM=t
∴QM= 12t
在直角三角形QPM中，∠QMP=60°，QM= 12t
∴QP= 34t
∴3- 33t= 34t.
解得t= 127s.
當2＜t＜4時，∠BQM=90°
直角三角形BNP中，BN=4-t，∠ABC=60°，
∴BP= 4-t2，
∴PM=BM-BP=t- 4-t2= 3t-42
在直角三角形BPQ中，∠DBC=30°，BP= 4-t2
∴PQ= 3（4-t）6
直角三角形QPM中，∠QMP=60°，PM= 3t-42
∴PQ= 3（3t-4）2
囙此3（4-t）6= 3（3t-4）2，
解得t=1.6s，與此時t的取值範圍不符，
囙此這種情況不成立.
綜上所述，當t=1.5s或127s，△BMQ是直角三角形
其中數位有變化思路是一樣的

在正方形ABCD中，E.F分別在BC，CD上，角EAF=45度求證三角形AEF的面積=三角形ABE的面+三角形ADF的面積

延長FD到G，使DG = BE顯然，三角形ABE≌三角形ADG，因為它們的兩直角邊相等.於是，∠GAD=∠BAE，又∠BAE+∠DAF=45，所以：角GAF =角GAD+角DAF=角EAF = 45 .又：AG = AE，AF = AF，則三角形AEF≌三角形AGF，…

已知：如圖，正方形ABCD中，點E是邊CD的中點，點F在邊BC上，且BC=4CF.求證：三角形ADE相似與三角形ECF

證：∵正方形ABCD
∴∠C=∠D=90°，AD=CD=BC
∵E為CD的中點
∴EC/CD = EC/ AD= 1/2，CD=2DE
∵BC=4CF
∴CF= 1/4 BC =1/4 CD= 1/2 DE
∴EC/AD=CF/DE = 1/2
∴∠D=∠C且AD/EC=DE/CF=2
∴△ADE∽△ECF

點EF分別在矩形ABCD的邊BC和CD上若△CEF△ABE△ADF的面積分別是3,4,5求△AEF的面積S

設矩形面積為S，由已知：AB·BE=8，CE·CF=6，AD·DF=10，由AB·BE=8得S-AB·CE=8，由AD·DF=10得S-AD·CF=10，所以（S-8）·（S-10）=AB·AD·CE·CF=6S，所以（S-4）（S-20）=0，所以矩形面積為20，三角形AEF的面積就是20-3-4-5=8

ABCD為一矩形，E，F分別為BC和CD上點，ABE面積是2，CEF面積是3，ADF面積是4，AEF面積是

由已知得
AB*BE=2*2=（DF+CF）*BE
DF*AD=4*2=DF*（CE+BE）
即
DF*BE+CF*BE=4
DF*CE+DF*BE=8
AEF面積=（DF+FC）*（CE+EB）-2-3-4=3

在正方形ABCD中，E.F分別在BC，.CD上，角EAF=45，丨證明三角形AEF的面積=三角形ABE+三角形ADF的面積

因為四邊形ABCD是正方形，所以，AB=AD，把三角形ADF繞點A旋轉90度，使點D與B重合，點F至點G處.則有：三角形GAB全等三角形FAD，三角形GAB面積=三角形FAD面積，BG=DF，AG=AF，角BAG=角DAF，角ABG=角ADC=90度.因為角ABC=90度，所以…

如圖，在正方形ABCD中，E、F分別在BC、CD上，∠EAF=45°，試證明S△AEF=S△ABE+S△ADF.

證明：延長CD到M，使DM=BE，連接AM，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠B=∠BAD=∠ADC=∠ADM=90°，∵在△ABE和△ADM中，AB＝AD∠B＝∠ADMBE＝DM∴△ABE≌△ADM（SAS），∴AM=AE，S△ABE=S△ADM，∠MAD=∠EAB，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠FAD+∠MAD=45°，即∠MAF=45°=∠EAF，∵在△EAF和△MAF中AF＝AF∠EAF＝∠MAFAE＝AM∴△EAF≌△MAF（SAS），∴S△EAF=S△MAF，∵S△MAF=S△DAF+S△MAD=S△ADF+S△ABE，∴S△AEF=S△ABE+S△ADF.