平面曲線曲率證明K|dx/ds| = |d（dy/ds）/ds| s是曲線y=f（x）上自A（a，f（a））到P（x，y）之間一段弧的長度，K為曲線在點P的曲率，證明如題！求詳解

平面曲線曲率證明K|dx/ds| = |d（dy/ds）/ds| s是曲線y=f（x）上自A（a，f（a））到P（x，y）之間一段弧的長度，K為曲線在點P的曲率，證明如題！求詳解

平面曲線曲率證明K|dx/ds| = |d（dy/ds）/ds|
s是曲線y=f（x）上自A（a，f（a））到P（x，y）之間一段弧的長度，K為曲線在點P的曲率，證明如題！
∵｜ds/dx｜=｜√（1+y′²；）｜，∴｜dx/ds｜=｜1/√（1+y′²；）｜
k=｜y〃/（1+y′²；）^（3/2）｜
故k｜dx/ds｜=｜y〃/（1+y′²；）²；｜.（1）
｜dy/ds｜=｜y′dx/ds｜=｜y′/√（1+y′²；）｜
｜d（dy/ds）/ds|=｜{d[y′/√（1+y′²；）]/dx}（dx/ds）｜=｜{[y〃√（1+y′²；）]-y′²；y〃/√（1+y′²；）]/（1+y′²；）}[1/√（1+y′²；）]
=｜{[y〃（1+y′²；）-y′²；y〃]/（1+y′²；）^（3/2）}[1/√（1+y′²；）]=｜y〃/（1+y′²；）²；｜.（2）
由（1）（2）可知：K|dx/ds| = |d（dy/ds）/ds|

直線y=－x+m與雙曲線y=4÷x相交於C，D兩點，且CD＝3根號2，求m.PS：已知全過程，求一細節的解釋.
把y=-x+m代入y=4/x，得
-x+m=4/x，
化簡得x^2-mx+4=0，
△=m^2-16，
|CD|=√[2△]=3√2，
∴△=9，m^2=25，
∴m=土5.
過程中為什麼|CD|=√[2△]=3√2？

設C（x1，y1），D（x2，y2），那麼y1-y2=-x1+x2=-（x1-x2），|x1-x2|=√△.所以，|CD|=√[（x1-x2）^2+（y1-y2）^2]=√[（x1-x2）^2+（x1-x2）^2]=√2×|x1-x2|=√2×√△.
這個結果基本上都可以作為公式使用了，知道了兩個交點的橫坐標的差d，以及交點所在直線的斜率k，兩個交點之間的距離就可以表示出來為√（1+k^2）×d