如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，P是AB上一點，連接PC，設∠BCP=m∠ACP，當AP=3/2時，是否存在正整數m 使PC垂直於AB？如果存在，求出m的值，如果不存在，說明理由

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，P是AB上一點，連接PC，設∠BCP=m∠ACP，當AP=3/2時，是否存在正整數m 使PC垂直於AB？如果存在，求出m的值，如果不存在，說明理由

假定存在正整數m使PC垂直於AB.那麼∠APC=90°.
因為∠BCP+∠ACP=∠ACB=90°，∠ACP+∠CAB=90°
所以∠CAB=∠BCP=m∠ACP，Rt△ABC與Rt△ACP相似
同理∠CBA=∠ACP，從而∠CAB=m∠CBA，m=∠CAB/∠CBA
由Rt△ABC與Rt△ACP相似，得
AC/AP=AB/AC，即AC/（3/2）=6/AC，AC=3
Sin（∠CBA）=AC/AB=3/6=1/2
∠CBA=30°，所以∠CAB=60°
m=∠CAB/∠CBA=60/30=2
故m是存在的，假定成立.

如圖，若△ACP∽△ABC，AP=4，AB=5，則AC

相似三角形對應邊成比例AC:AB=AP:AC所以AC等於根號下20（20的平方根）.

AC的平方=AP乘AB，求證：三角形ACP相似於三角形ABC

AC²；=AP×AB
AC/AP=AB/AC
∠A=∠A
∴△ACP∽△ABC
夾角對應相等，兩夾邊對應成比例

已知：△ABC是正三角形，P是三角形內一點，PA=3，PB=4，PC=5.求：∠APB的度數.（初二）

把△ABP繞點B順時針旋轉60°得到△BCQ，連接PQ，∵∠PBQ=60°，BP=BQ，∴△BPQ是等邊三角形，∴PQ=PB=4，而PC=5，CQ=4，在△PQC中，PQ2+QC2=PC2，∴△PQC是直角三角形，∴∠BQC=60°+90°=150°，∴∠APB=150°.