如圖，在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，AB的垂直平分線DE交AC於D，則∠DBC的度數是（） A. 15°B. 20°C. 30°D. 25°

如圖，在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，AB的垂直平分線DE交AC於D，則∠DBC的度數是（） A. 15°B. 20°C. 30°D. 25°

解已知，∠A=50°，AB=AC⇒∠ABC=∠ACB=65°又∵DE垂直且平分AB⇒DB=AD∴∠ABD=∠A=50°∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15°.故選A.

如圖所示，AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠CAE，BE與DC交於點P.求證：PA平分∠DPE.

證明：過點A分別作AM⊥DP，垂足為點M，AN⊥PE，垂足為點N，∵∠DAB=∠CAE（已知），∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC（等式的性質），即∠DAC=∠BAE.在△ADC和△ABE中，∵AB=AD，∠DAC=∠BAE.AC=AE，∴△ADC≌△ABE（SAS）∴DC=BE ；（全等三角形的對應邊相等），∵S△ADC=S△ABE∴AM=AN在Rt△AMP和Rt△ANP中，AP＝AP（公共邊）AM＝AN（已證），∴Rt△AMP≌Rt△ANP（HL）.∴∠APM=∠APN（全等三角形的對應角相等），∴PA平分∠DPE（角平分線的定義）

如圖所示，在△ABC外作等腰三角形△ABD和等腰三角形△ACE，且使它們的頂角∠DAB=∠EAC，BE、CD相交於點P，AP的延長線交BC於點F，試判斷∠BPF與∠CPF的關係，並加以證明.

∠BPF=∠CPF理由：作AG⊥CD於G，AH⊥BE於H，∵∠DAB=∠EAC，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE.在△ADC和△ABE中AD＝AB∠DAC＝∠BAEAC＝AE，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴DC=BE.∵AG⊥CD，AH⊥BE，∴AG=AH….