求∫√（a^2-x^2）dx的不定積分，

求∫√（a^2-x^2）dx的不定積分，

令x=asiny，dx=acosy dy
√（a²；-x²；）=√（a²；-a²；sin²；y）=acosy
原式=a²；∫cos²；y dy
=a²；/2*∫（1+cos2y）dy
=a²；/2*y+a²；/2*1/2*∫cos2y d（2y）
=a²；/2*y+a²；/4*sin2y
=a²；/2*y+a²；/2*sinycosy
=a²；/2*arcsin（x/a）+a²；/2*（x/a）*√（a²；-x²；）/a
=（a²；/2）arcsin（x/2）+（x/2）√（a²；-x²；）+C

求不定積分∫x/（x^2）dx

解
∫x/（x^2）dx
=∫1/xdx
=ln|x|+C

求不定積分∫x^2/√（a^2-x^2）dx=？
用分部積分法
∫x^2/√（a^2-x^2）dx=x^2*arcsin（x/a）-∫2x/√（a^2-x^2）dx=x^2*arcsin（x/a）-2xarcsin（x/a）+2arcsin（x/a）
=（x^2-2x+2）arcsin（x/a）+C
這樣做有什麼不對？

令x=asint，則dx=acost dt∫x²；/√（a²；-x²；）dx=∫a²；sin²；t/（acost）·acostdt=a²；∫sin²；t dt=a²；∫（1-cos2t）/2 dt=a²；∫1/2dt-a²；∫cos2tdt=a²；t/2-1/2·a²；sin2t+C=1/ 2·a²；arcsin（x/a）-x·√（a²；-x²；）+C